Chézyho rychlostní součinitel

Chézyho rychlostní součinitel je jedním z členů Chézyho rovnice, která dovoluje výpočet střední průřezové rychlosti, resp. s aplikací rovnice kontinuity výpočet průtoku v potrubí a zejména v otevřených korytech. V počátcích hydrauliky jako vědního oboru býval udáván číselnou hodnotou, která se ale podle různých výzkumníků i značně lišila.^[1] Během doby bylo odvozeno několik desítek vztahů založených na různých základech (viz^[2]). V zásadě můžeme rozlišit následující hlavní skupiny těchto vztahů:

• součinitele mocninné
• součinitele logaritmické
• ostatní

Rozměr Chézyho rychlostního součinitele vyplývá z Chézyho rovnice a je [m^0,5s⁻¹], tedy rozměr odmocniny ze zrychlení.

Součinitele exponenciální

Tyto vzorce mají standardní tvar

${\displaystyle C={\frac {1}{n}}{R^{y}}}$

kde ${\displaystyle R=S/O}$, ${\displaystyle R}$ je hydraulický poloměr [m], ${\displaystyle S}$ průtočná plocha [m²] a ${\displaystyle O}$ omočený obvod [m]. Exponent ${\displaystyle y}$ může být konstantou či funkcí určitých proměnných. Součinitel ${\displaystyle n}$ je tzv. součinitel drsnosti (v angloamerické literatuře též často nazýván Manningův součinitel drsnosti), vyjadřující hydraulické odpory koryta.

Typickým představitelem je Chézyho součinitel podle Manninga, kde ${\displaystyle y=1/6}$. Podrobné pojednání o vzniku Manningovy rovnice (viz^[3]). Další výzkumníci došli k hodnotám ${\displaystyle y=1/5}$ (Forchheimer) a ${\displaystyle y=1/4}$ (Lacey)^[4][2]

Sovětský akademik Pavlovskij odvodil ve 30. letech 20. stol. svůj v Sovětském svazu i u nás velmi rozšířený vztah^[5]

${\displaystyle y=2,5\surd n-0,13-0,75\surd R(\surd n-0,10)}$

Literatura uvádí dvě možná zjednodušení tohoto poměrně složitého vztahu, která navrhl jeho autor, a to jednak z hlediska hydraulického poloměru (viz např.^[6][7]):

${\displaystyle y=1,5\surd n}$ pro ${\displaystyle R\leqq 1}$ m

${\displaystyle y=1,3\surd n}$ pro ${\displaystyle R>1}$ m

jednak z hlediska velikosti součinitele drsnosti ${\displaystyle n}$ (viz^[7]):

${\displaystyle y=1/6}$ pro ${\displaystyle 0,010\leqq n<0,015}$

${\displaystyle y=1/5}$ pro ${\displaystyle 0,015\leqq n<0,025}$

${\displaystyle y=1/4}$ pro ${\displaystyle n\geqq 0,025}$,

Se zvyšujícím se součinitelem drsnosti vlastně rychlostní součinitel podle Manninga přechází v součinitel podle Forchheimera a posléze podle Laceye.

Libý^[8] na základě vlastních experimentů doporučuje další možné zjednodušení Pavlovského vzorce pro vyšší drsnosti:

${\displaystyle y=1,6{\sqrt {n}}}$ pro ${\displaystyle n\geqq 0,025}$.

Pavlovského vzorec je sovětskou i starší tuzemskou literaturou považován za nejpřesnější. Pavlovskij udává jeho platnost v mezích ${\displaystyle R\in \langle 0,1;3\rangle }$ [m] a ${\displaystyle n\in \langle 0,011;0,040\rangle }$, avšak obecně se udává, že platí v mezích podstatně širších (které ale zřejmě nejsou v žádné literatuře specifikovány).

Sribný (viz^[9]) udává vztah mezi exponentem ${\displaystyle y}$ a součinitelem drsnosti tabelárně:

Mattas^[2] tuto tabulku aproximoval rovnicí

${\displaystyle y=1,072n^{0,462}}$.

Chen^[10] Uvedl do vztahu hodnotu exponentu ${\displaystyle y}$ a relativní absolutní drsnosti ${\displaystyle R/k}$ kde ${\displaystyle R}$ [m] je hydraulický poloměr a ${\displaystyle k}$ [m] je absolutní drsnost koryta. Ve své práci uvádí tabulku závislosti ${\displaystyle y=f(R/k)}$, kde udává i rozmezí relativní absolutní drsnosti, v níž daný exponent platí. Překryv udávaných rozmezí relativní absolutní drsnosti je však tak velký, že lze volit téměř libovolnou hodnotu exponentu:

Z provedené analýzy (viz^[2]) vyplývá, že pro větší hydraulické poloměry (ca ${\displaystyle R>0,5}$ [m]) jsou rozdíly mezi jednotlivými výše uvedenými vztahy relativně přijatelné, poněkud vybočuje vztah Manningův, který rychlostní součinitel poněkud podhodnocuje. Pro malé hydraulické poloměry je rozptyl výsledků větší a se zmenšováním hydraulického poloměru se zvětšuje.

Součinitele logaritmické

Logaritmický tvar Chézyho rychlostního součinitele je považován za nejsprávnější a je teoreticky nejlépe podložen. Z Prandtl-Kármánova zákona rozdělení rychlosti lze odvodit výraz pro součinitel ztráty třením v obecném tvaru Colebrook-Whiteovy rovnice:^[5]

${\displaystyle {1 \over {\sqrt {\lambda }}}=c\log {aR \over k_{s}}}$

kde ${\displaystyle \lambda }$ je součinitel ztráty třením, ${\displaystyle c}$ je konstanta, ${\displaystyle c=2,03}$ je převod z přirozeného logaritmu na dekadický, většina autorů zaokrouhluje na 2,00, ${\displaystyle R}$ [m] je hydraulický poloměr a ${\displaystyle k_{s}}$ [m] absolutní, resp. ekvivalentní písková drsnost, která se obvykle nahrazuje některým charakteristickým zrnem (např. ${\displaystyle d_{ef},d_{50},d_{84}}$) substrátu dna. V některých případech je hydraulický poloměr nahrazen střední hloubkou. Protože platí jednoduchý vztah^[5]

${\displaystyle {\sqrt {8 \over \lambda }}={C \over {\sqrt {g}}}}$,

lze Colebrook-Whiteovu rovnici snadno převést na výraz pro určení Chézyho rychlostního součinitele (viz např.^[5],^[2]):

${\displaystyle C=4{\sqrt {2g}}\log {{aR} \over k_{s}}=4{\sqrt {2g}}{\biggl (}\log R+\log {a \over k_{s}}{\biggr )}=4{\sqrt {2g}}{\biggl (}\log {R \over k_{s}}+\log a{\biggr )}}$

U nás býval doporučován výraz, odvozený Agroskinem na základě výsledků experimentů Zegždy, ve tvaru:^[6]

${\displaystyle C=4{\sqrt {2g}}(\log R+k_{a})}$

kde ${\displaystyle k_{a}}$ je tzv. součinitel hladkosti,

${\displaystyle k_{a}=\log {{2A} \over \Delta }}$

kde ${\displaystyle A}$ je konstanta a ${\displaystyle \Delta }$ velikost výstupků stěny. Agroskin však místo použití parametru ${\displaystyle \Delta }$ vyšel z mocninných vztahů pro Chézyho rychlostní součinitel, z nichž odvodil vztah

${\displaystyle k_{a}={{0,05643} \over n}}$

kde ${\displaystyle n}$ je součinitel drsnosti, čímž však popřel výhodnost svého jinak teoreticky dobře podloženého vzorce.

Bretting odvodil podobný vztah^[9]

${\displaystyle C=4{\sqrt {2g}}{\biggl (}\log {R \over d}+A'{\biggr )}}$

kde ${\displaystyle d}$ je efektivní zrno (též střední) a konstanta ${\displaystyle A'=1,171}$. Obdobný vztah odvodil na základě řady měření na našich vodních tocích Martinec^[11] (tzv. "vzorec VÚV") s hodnotou ${\displaystyle A'=0,77}$ pro ${\displaystyle d=d_{50}}$. S ohledem na značně problematický způsob určení padesátiprocentního kvantilu křivky zrnitosti (v některých případech Martinec uvádí jako způsob určení dokonce i jen odborný odhad) který zrnitosti evidentně podhodnocoval,^[12] tento vzorec ve srovnání s ostatními značně vybočuje, a dává podstatně vyšší hodnoty Chézyho rychlostního součinitele (viz^[2]). Mattas určil na základě souboru více než 600 měření (vlastních i v literatuře publikovaných) na tocích vyšších gradientů s hrubozrnným substrátem ${\displaystyle A'=0,41}$ pro ${\displaystyle d=d_{50}}$, resp.${\displaystyle A'=0,72}$ pro ${\displaystyle d=d_{84}}$.^[13]

Pro hrubozrnný materiál dna např. udávají Leopold, Wollman a Miller (citace viz^[14])

${\displaystyle C=2,03\centerdot 2{\sqrt {2g}}\log {{3,11h} \over {d_{84}}}}$

kde ${\displaystyle h}$ je střední hloubka vody. Limerinos (ibid) odvodil konstantu ${\displaystyle a=1,49}$ pro ${\displaystyle d=d_{50}}$, resp. ${\displaystyle a=3,72}$ pro ${\displaystyle d=d_{84}}$ a ve vzorci používá místo střední hloubky hydraulický radius ${\displaystyle R}$.

Za nejspolehlivější vztah logaritmického typu se považuje vzorec Heye^[14]

${\displaystyle C=4{\sqrt {2g}}\log {{a'R} \over {3,5d_{84}}}}$

kde parametr ${\displaystyle a'}$ se určí z Bathurstova vztahu (ibid)

${\displaystyle a'=11,1{\biggl (}{R \over h_{max}}{\biggr )}}$

kde ${\displaystyle h_{max}}$ je délka normály k omočenému obvodu, procházející místem maximální místní (bodové) rychlosti.

Součinitele ostatní

Ganguillet-Kutterův vztah

Jedním z prvních vztahů pro výpočet Chézyho rychlostního součinitele je vzorec Ganguilleta a Kuttera z r. 1869 (viz např.^[1][2][5]), běžně používaný ještě v 60. letech 20. století:

${\displaystyle C={{23+{{0,00155} \over i}+{1 \over n}} \over {1+{\Bigl (}23+{{0,00155} \over i}{\Bigr )}{n \over \surd R}}}}$

kde ${\displaystyle i}$ je sklon hladiny a ${\displaystyle n}$ součinitel drsnosti, který byl v tomto vzorci použit vůbec poprvé. Autoři též stanovili jeho hodnoty pro řadu případů (viz např.^[1]). Vzorec dává podle Chowa^[4] uspokojivé výsledky i přesto, že část dat použitá k jeho odvození byla chybná (měření Abbota a Humphreyse na Mississippi).

Stricklerův vzorec a jeho modifikace

Mezi první pokusy o zavedení charakteristického rozměru splaveninových zrn do výpočtu Chézyho rychlostního součinitele je vztah Stricklera (např.^[9]):

${\displaystyle C={{a} \over {d^{1/6}}}R^{1/6}}$

Porovnáním s Manningovým vztahem pro rychlostní součinitel je evidentně

${\displaystyle n={{1 \over a}d^{1/6}}}$

kde ${\displaystyle a}$ je konstanta a ${\displaystyle d}$ je charakteristické zrno. Vztah podle Brettinga (cit. v^[9]) platí v mezích ${\displaystyle 4,32\leqq {R/d}\leqq 276}$.

Konstantu ${\displaystyle a}$ udávají různí autoři různými hodnotami pro různou charakteristickou drsnost; původní hodnoty udané Stricklerem jsou ${\displaystyle a=21,1}$ pro pevné dno s homogenní pískovou drsností resp. ${\displaystyle a=24,4}$ pro ${\displaystyle d=d_{50}}$. Další hodnoty viz^[2].

Mostkovův vzorec

Vzorec Mostkova^[15] se svým tvarem poněkud vymyká z řady. Byl odvozen pro hydraulicky drsná koryta přímo z Prandtlovy rovnice ve tvaru

${\displaystyle C=22\log {R \over {\Delta }}+9,5{{\Delta } \over R}+1,5}$

kde ${\displaystyle \Delta }$ [m] je tzv. "výška vlivu výstupků drsnosti". Je uvedena v tabelární formě pro různé typy povrchů a koryt,^[2][15] pro říční koryta lze použít tabulku závislosti ${\displaystyle \Delta }$ na středním (efektivním) zrnu materiálu koryta:

Toky se zvýšenou drsností

Do této kategorie patří toky horské a podhorské, obvykle větších gradientů (ca ${\displaystyle i>0,002-0,005}$) s hrubozrnným substrátem dna a často se vyskytujícími většími valouny až balvany. Tyto toky již často spadají do kategorie toků s makrodrsností (tzn. ${\displaystyle h/d_{50}<2}$, resp. ${\displaystyle h/d_{84}<1,2}$ kde ${\displaystyle h}$ [m] je střední hloubka toku).

Bathurst^[16] uvažuje rozmístění jednotlivých makrodrsnostních prvků, které při daném průtoku převyšují hladinu volně po ploše dna, a bere poměr plochy dna ${\displaystyle S_{d}}$ [m²] k sumě ploch těchto prvků v určitém pásu kolem příčného profilu. Jako plochu makrodrsnostních prvků lze uvažovat buď jejich průměty do svislé roviny kolmé na směr proudění ${\displaystyle S_{f}}$ [m²], nebo jejich půdorysy ${\displaystyle S_{b}}$ [m²]. Z těchto parametrů vyjádříme buď tzv. frontální koncentraci ${\displaystyle \lambda _{1}}$ drsnostních prvků, nebo jejich základovou koncentraci ${\displaystyle \lambda _{2}}$:

${\displaystyle \lambda _{1}={\textstyle \sum \displaystyle S_{f}/S_{d}}}$, resp. ${\displaystyle \lambda _{2}={\textstyle \sum \displaystyle S_{b}/S_{d}}}$.

Protože tyto koncentrace korelují s relativní drsností, není nutné je určovat přímým měřením, ale lze je odhadnout ze vztahů udávaných Bathurstem jako

${\displaystyle \lambda _{1}=0,139\log {{1,91d_{84}} \over R}}$, resp. ${\displaystyle \lambda _{2}=0,360\log {{1,52d_{84}} \over R}}$.

Chézyho součinitel pak lze určit z Bathurstem odvozených empirických vztahů, při použití frontální koncentrace

${\displaystyle C={\sqrt {g}}{\Bigl (}{R \over {0,365d_{84}}}{\Bigr )}^{2,34}{\Bigl (}{b \over h}{\Bigr )}^{7(\lambda _{1}-0,08)}}$,

resp. při použití základové koncentrace

${\displaystyle C={\sqrt {g}}{\Bigl (}{R \over {0,748d_{84}}}{\Bigr )}^{5,83}{\Bigl (}{b \over h}{\Bigr )}^{7(\lambda _{2}-0,08)}}$.

Uvedené vztahy podle Bathursta platí pro ${\displaystyle d_{16}\in \langle {0,103;0,135}\rangle }$ [m], ${\displaystyle d_{50}\in \langle {0,185;0,270}\rangle }$ [m], ${\displaystyle d_{84}\in \langle {0,103;0,135}\rangle }$ [m].

Reference