Chézyho rychlostní součinitel

Chézyho rychlostní součinitel je jedním z členů Chézyho rovnice, která dovoluje výpočet střední průřezové rychlosti, resp. s aplikací rovnice kontinuity výpočet průtoku v potrubí a zejména v otevřených korytech. V počátcích hydrauliky jako vědního oboru býval udáván číselnou hodnotou, která se ale podle různých výzkumníků i značně lišila.[1] Během doby bylo odvozeno několik desítek vztahů založených na různých základech (viz[2]). V zásadě můžeme rozlišit následující hlavní skupiny těchto vztahů:

  • součinitele mocninné
  • součinitele logaritmické
  • ostatní

Rozměr Chézyho rychlostního součinitele vyplývá z Chézyho rovnice a je [m0,5s−1], tedy rozměr odmocniny ze zrychlení.

Součinitele exponenciální

Tyto vzorce mají standardní tvar

kde , je hydraulický poloměr [m], průtočná plocha [m2] a omočený obvod [m]. Exponent může být konstantou či funkcí určitých proměnných. Součinitel je tzv. součinitel drsnosti (v angloamerické literatuře též často nazýván Manningův součinitel drsnosti), vyjadřující hydraulické odpory koryta.

Typickým představitelem je Chézyho součinitel podle Manninga, kde . Podrobné pojednání o vzniku Manningovy rovnice (viz[3]). Další výzkumníci došli k hodnotám (Forchheimer) a (Lacey)[4][2]

Sovětský akademik Pavlovskij odvodil ve 30. letech 20. stol. svůj v Sovětském svazu i u nás velmi rozšířený vztah[5]

Literatura uvádí dvě možná zjednodušení tohoto poměrně složitého vztahu, která navrhl jeho autor, a to jednak z hlediska hydraulického poloměru (viz např.[6][7]):

pro m

pro m

jednak z hlediska velikosti součinitele drsnosti (viz[7]):

pro

pro

pro ,

Se zvyšujícím se součinitelem drsnosti vlastně rychlostní součinitel podle Manninga přechází v součinitel podle Forchheimera a posléze podle Laceye.

Libý[8] na základě vlastních experimentů doporučuje další možné zjednodušení Pavlovského vzorce pro vyšší drsnosti:

pro .

Pavlovského vzorec je sovětskou i starší tuzemskou literaturou považován za nejpřesnější. Pavlovskij udává jeho platnost v mezích [m] a , avšak obecně se udává, že platí v mezích podstatně širších (které ale zřejmě nejsou v žádné literatuře specifikovány).

Sribný (viz[9]) udává vztah mezi exponentem a součinitelem drsnosti tabelárně:

n<0,0100,0130,0180,0250,0400,0800,200
y1/81/71/61/51/41/31/2

Mattas[2] tuto tabulku aproximoval rovnicí

.

Chen[10] Uvedl do vztahu hodnotu exponentu a relativní absolutní drsnosti kde [m] je hydraulický poloměr a [m] je absolutní drsnost koryta. Ve své práci uvádí tabulku závislosti , kde udává i rozmezí relativní absolutní drsnosti, v níž daný exponent platí. Překryv udávaných rozmezí relativní absolutní drsnosti je však tak velký, že lze volit téměř libovolnou hodnotu exponentu:

y1/61/51/41/31/22/31
min R/k3,340,9830,2780,0690,0070,0030,0
max R/k316,0132,056,321,07,93,21,1

Z provedené analýzy (viz[2]) vyplývá, že pro větší hydraulické poloměry (ca [m]) jsou rozdíly mezi jednotlivými výše uvedenými vztahy relativně přijatelné, poněkud vybočuje vztah Manningův, který rychlostní součinitel poněkud podhodnocuje. Pro malé hydraulické poloměry je rozptyl výsledků větší a se zmenšováním hydraulického poloměru se zvětšuje.

Součinitele logaritmické

Logaritmický tvar Chézyho rychlostního součinitele je považován za nejsprávnější a je teoreticky nejlépe podložen. Z Prandtl-Kármánova zákona rozdělení rychlosti lze odvodit výraz pro součinitel ztráty třením v obecném tvaru Colebrook-Whiteovy rovnice:[5]

kde je součinitel ztráty třením, je konstanta, je převod z přirozeného logaritmu na dekadický, většina autorů zaokrouhluje na 2,00, [m] je hydraulický poloměr a [m] absolutní, resp. ekvivalentní písková drsnost, která se obvykle nahrazuje některým charakteristickým zrnem (např. ) substrátu dna. V některých případech je hydraulický poloměr nahrazen střední hloubkou. Protože platí jednoduchý vztah[5]

,

lze Colebrook-Whiteovu rovnici snadno převést na výraz pro určení Chézyho rychlostního součinitele (viz např.[5],[2]):

U nás býval doporučován výraz, odvozený Agroskinem na základě výsledků experimentů Zegždy, ve tvaru:[6]

kde je tzv. součinitel hladkosti,

kde je konstanta a velikost výstupků stěny. Agroskin však místo použití parametru vyšel z mocninných vztahů pro Chézyho rychlostní součinitel, z nichž odvodil vztah

kde je součinitel drsnosti, čímž však popřel výhodnost svého jinak teoreticky dobře podloženého vzorce.

Bretting odvodil podobný vztah[9]

kde je efektivní zrno (též střední) a konstanta . Obdobný vztah odvodil na základě řady měření na našich vodních tocích Martinec[11] (tzv. "vzorec VÚV") s hodnotou pro . S ohledem na značně problematický způsob určení padesátiprocentního kvantilu křivky zrnitosti (v některých případech Martinec uvádí jako způsob určení dokonce i jen odborný odhad) který zrnitosti evidentně podhodnocoval,[12] tento vzorec ve srovnání s ostatními značně vybočuje, a dává podstatně vyšší hodnoty Chézyho rychlostního součinitele (viz[2]). Mattas určil na základě souboru více než 600 měření (vlastních i v literatuře publikovaných) na tocích vyšších gradientů s hrubozrnným substrátem pro , resp. pro .[13]

Pro hrubozrnný materiál dna např. udávají Leopold, Wollman a Miller (citace viz[14])

kde je střední hloubka vody. Limerinos (ibid) odvodil konstantu pro , resp. pro a ve vzorci používá místo střední hloubky hydraulický radius .

Za nejspolehlivější vztah logaritmického typu se považuje vzorec Heye[14]

kde parametr se určí z Bathurstova vztahu (ibid)

kde je délka normály k omočenému obvodu, procházející místem maximální místní (bodové) rychlosti.

Součinitele ostatní

Ganguillet-Kutterův vztah

Jedním z prvních vztahů pro výpočet Chézyho rychlostního součinitele je vzorec Ganguilleta a Kuttera z r. 1869 (viz např.[1][2][5]), běžně používaný ještě v 60. letech 20. století:

kde je sklon hladiny a součinitel drsnosti, který byl v tomto vzorci použit vůbec poprvé. Autoři též stanovili jeho hodnoty pro řadu případů (viz např.[1]). Vzorec dává podle Chowa[4] uspokojivé výsledky i přesto, že část dat použitá k jeho odvození byla chybná (měření Abbota a Humphreyse na Mississippi).

Stricklerův vzorec a jeho modifikace

Mezi první pokusy o zavedení charakteristického rozměru splaveninových zrn do výpočtu Chézyho rychlostního součinitele je vztah Stricklera (např.[9]):

Porovnáním s Manningovým vztahem pro rychlostní součinitel je evidentně

kde je konstanta a je charakteristické zrno. Vztah podle Brettinga (cit. v[9]) platí v mezích .

Konstantu udávají různí autoři různými hodnotami pro různou charakteristickou drsnost; původní hodnoty udané Stricklerem jsou pro pevné dno s homogenní pískovou drsností resp. pro . Další hodnoty viz[2].

Mostkovův vzorec

Vzorec Mostkova[15] se svým tvarem poněkud vymyká z řady. Byl odvozen pro hydraulicky drsná koryta přímo z Prandtlovy rovnice ve tvaru

kde [m] je tzv. "výška vlivu výstupků drsnosti". Je uvedena v tabelární formě pro různé typy povrchů a koryt,[2][15] pro říční koryta lze použít tabulku závislosti na středním (efektivním) zrnu materiálu koryta:

dstř [mm]3-530-7550-90140-180180-210250
Δ [mm]102550100150200

Toky se zvýšenou drsností

Do této kategorie patří toky horské a podhorské, obvykle větších gradientů (ca ) s hrubozrnným substrátem dna a často se vyskytujícími většími valouny až balvany. Tyto toky již často spadají do kategorie toků s makrodrsností (tzn. , resp. kde [m] je střední hloubka toku).

Bathurst[16] uvažuje rozmístění jednotlivých makrodrsnostních prvků, které při daném průtoku převyšují hladinu volně po ploše dna, a bere poměr plochy dna [m2] k sumě ploch těchto prvků v určitém pásu kolem příčného profilu. Jako plochu makrodrsnostních prvků lze uvažovat buď jejich průměty do svislé roviny kolmé na směr proudění [m2], nebo jejich půdorysy [m2]. Z těchto parametrů vyjádříme buď tzv. frontální koncentraci drsnostních prvků, nebo jejich základovou koncentraci :

, resp. .

Protože tyto koncentrace korelují s relativní drsností, není nutné je určovat přímým měřením, ale lze je odhadnout ze vztahů udávaných Bathurstem jako

, resp. .

Chézyho součinitel pak lze určit z Bathurstem odvozených empirických vztahů, při použití frontální koncentrace

,

resp. při použití základové koncentrace

.

Uvedené vztahy podle Bathursta platí pro [m], [m], [m].

Reference

  1. a b c Tolman, B. (1908): O pohybu vody v korytech otevřených. ČMT, Praha
  2. a b c d e f g h i Mattas, D. (2014): Výpočet průtoku v otevřených korytech. Práce a studie 205. VÚV T.G.M. Praha. ISBN 978-80-87402-27-6
  3. Dooge, J.C.I. (1992): The Manning Formula In Context. In: Yen, B.C. (ed): Channel Flow Resistance: Centennial of Mannings Formula. Water Res. Publ., Littleton Co.
  4. a b Chow, Ven Te (1959): Open-Channel Hydraulics. McGraw-Hill
  5. a b c d e Boor, B., Kunštátský, J. a Patočka, C. (1968): Hydraulika pro vodohospodářské stavby. SNTL/ALFA Praha/Bratislava
  6. a b Agroskin, I.I., Dmitrijev, G.T. a Pikalov, F.I. (1955):Hydraulika I, II. SNTL, Praha
  7. a b Brachtl,I. a Taus, K. (1962): Súčinitele drsnosti otvorených kanálov. Veda a výskum praxi 8. VÚV Bratislava
  8. Libý, J. (1977): Rychlostní součinitel C v Chézyho rovnici v otevřených korytech se zvýšenou drsností. Práce a studie 148. VÚV, Praha
  9. a b c d Macura, L. (1958): Výpočet prietokov v toku. Práce, Praha
  10. Chen, Cheng-Lu (1992): Power Law Of Resistance In Open Channels: Manning's Formula Revisited. In: Yen, B.C. (ed) Channel Flow Resistance: Centennial Of Manning's Formula. Water Res. Publ., Littleton CO
  11. Martinec, J. (1958): Vliv drsnosti koryta na pohyb vody ve vodních tocích. Práce a studie 96. VÚV, Praha
  12. Mattas, D, Petrůjová, T. a Mareš, K. (1998): Pohyb sedimentů v podélném profilu toku. Závěrečná zpráva DÚ02 projektu VaV/510/2/96. VÚV T.G.M. Praha
  13. Mattas, D. (2003): Nové vztahy pro výpočet otevřených koryt. In sborník 3. vodohospodářská konference. Práce a studie ÚVST FAST VUT v Brně, sešit 4, str. 128–135
  14. a b Marešová, I. (1986): Vztah drsnosti, odporů a hydrodynamických sil v otevřených korytech. Pís. práce ke kandidátskému minimu. ČVUT v Praze, Stavební fakulta, Praha
  15. a b Mostkov, M.A. (1959): Očerk teorii ruslovogo potoka. Izd. Ak. nauk SSSR
  16. Bathurst, J.C. (1985): Flow Resistance Estimation In Mountain Rivers. JHD ASCE, vol. 111, HY4, pp. 625–643