Charakteristická funkce

Jako charakteristická funkce se v matematice označuje taková funkce, která pro nějakou podmnožinu A dané množiny X indikuje, které prvky X patří do A, to znamená, že její hodnota pro prvky množiny A je rovna jedné, pro všechny ostatní body nule.

Definice

${\displaystyle \chi _{A}:X\rightarrow \{0,1\}}$ je charakteristická funkce množiny A v množině X, pokud platí

${\displaystyle \chi _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{pokud}}\ x\in A,\\0&{\mbox{pokud}}\ x\notin A.\end{matrix}}\right.}$

Značení

Značení charakteristické funkce není jednotné, mimo ${\displaystyle \chi _{A}(x)}$ se používá také ${\displaystyle 1_{A}(x)}$, ${\displaystyle c_{A}(a)}$ či dokonce jen A(x) (zejména v teorii vyčíslitelnosti).

Vlastnosti

Jsou-li A a B dvě podmnožiny množiny X, pak platí

${\displaystyle \chi _{A\cap B}=\min\{\chi _{A},\chi _{B}\}=\chi _{A}\cdot \chi _{B},\,}$

${\displaystyle \chi _{A\cup B}=\max\{{\chi _{A},\chi _{B}}\}=\chi _{A}+\chi _{B}-\chi _{A}\cdot \chi _{B},}$

Speciální tvary

• pokud je charakteristická funkce množiny A obecně rekurzivní, je množina A rekurzivní

Související články

• Dirichletova funkce
• Fuzzy množina