Charakteristická rovnice

Charakteristická rovnice (nebo pomocná rovnice^[1]) je v matematice algebraická rovnice n-tého stupně, na které závisí řešení diferenciální rovnice n-tého řádu^[2]. Charakteristickou rovnici lze použít pro řešení lineárních, homogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty^[1], které lze obecně zapsat

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0}$

kde ${\displaystyle y\,}$ je závislá proměnná a ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1},a_{0}}$ jsou konstanty. Tato diferenciální rovnice má charakteristickou rovnici tvaru

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}$

Z kořenů ${\displaystyle r^{n},r^{n-1},\ldots ,r}$ charakteristické rovnice můžeme zkonstruovat obecné řešení diferenciální rovnice^[1][3][4]. Tuto metodu řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty objevil Leonhard Euler, který našel vztah mezi uvedenými rovnicemi^[2]. Vlastnosti Eulerovy charakteristické rovnice později podrobněji studovali francouzští matematici Augustin Louis Cauchy a Gaspard Monge^[2][4].

Derivace

Hledáme-li řešení lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1},a_{0}}$,

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{'}+a_{0}y=0}$

vidíme, že pokud by se řešení rovnalo ${\displaystyle y(x)=e^{rx}\,}$, každý sčítanec v rovnici bude konstantním násobkem ${\displaystyle e^{rx}\,}$. To pramení z faktu, že derivace exponenciální funkce ${\displaystyle e^{rx}\,}$ je násobkem původní funkce, čili ${\displaystyle y'=re^{rx}\,}$, ${\displaystyle y''=r^{2}e^{rx}\,}$ a ${\displaystyle y^{(n)}=r^{n}e^{rx}\,}$ jsou všechno násobky ${\displaystyle e^{rx}\,}$. To naznačuje, že určité hodnoty ${\displaystyle r\,}$ dovolují, aby součet násobků ${\displaystyle e^{rx}\,}$ dával nulu, a řešil homogenní diferenciální rovnici^[3]. Abychom zjistili hodnotu ${\displaystyle r\,}$, dosadíme funkci ${\displaystyle y=e^{rx}\,}$ a její derivace do diferenciální rovnice za ${\displaystyle y}$ a jeho derivace, čímž dostaneme

${\displaystyle a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0}$

Protože ${\displaystyle e^{rx}\,}$ není nikdy rovno nule, můžeme jím rovnici vydělit, čímž dostaneme charakteristickou rovnici

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}$

Když nalezneme kořeny ${\displaystyle r\,}$ této charakteristické rovnice, můžeme z nich sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice^[1][4]. Například jestliže se jeden kořen rovná 3, pak obecné řešení bude ${\displaystyle y(x)=ce^{3x}\,}$, kde ${\displaystyle c\,}$ je konstanta.

Sestrojení obecného řešení

Naleznutí kořenů ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$ charakteristické rovnice, nám umožňuje sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice. Kořeny mohou být reálné i komplexní a jednoduché nebo vícenásobné. Jestliže charakteristická rovnice má složky s jednoduchými reálnými kořeny, ${\displaystyle h\,}$ násobnými kořeny a ${\displaystyle k\,}$ komplexními kořeny po řadě odpovídajícími obecným řešením ${\displaystyle y_{D}(x)\,}$, ${\displaystyle y_{R_{1}}(x),\ldots ,y_{R_{h}}(x)}$ a ${\displaystyle y_{C_{1}}(x),\ldots ,y_{C_{k}}(x)}$, pak obecné řešení diferenciální rovnice je

${\displaystyle y(x)=y_{D}(x)+y_{R_{1}}(x)+\cdots +y_{R_{h}}(x)+y_{C_{1}}(x)+\cdots +y_{C_{k}}(x)}$

Jednoduché reálné kořeny

Princip superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty říká, že jestliže ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$ jsou ${\displaystyle n\,}$ lineárně nezávislé řešení určité diferenciální rovnice, pak jejich každá lineární kombinace ${\displaystyle c_{1}u_{1}+\cdots +c_{n}u_{n}}$ je také řešením rovnice pro libovolné hodnoty ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$^[1][5]. Proto pokud má charakteristická rovnice jednoduché reálné kořeny ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$, její obecné řešení bude mít tvar

${\displaystyle y_{D}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}}$

Vícenásobné reálné kořeny

Jestliže charakteristická rovnice má ${\displaystyle k\,}$ násobný kořen ${\displaystyle r_{1}\,}$, pak je zřejmé, že ${\displaystyle y_{p}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}}$ je alespoň jedno její řešení^[1]. Ale toto řešení není lineárně nezávislé s dalšími ${\displaystyle k-1\,}$ kořeny. Protože ${\displaystyle r_{1}\,}$ má násobnost ${\displaystyle k\,}$, diferenciální rovnici můžeme faktorizovat na^[1]

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)^{k}y=0}$

Skutečnost, že ${\displaystyle y_{p}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}}$ je jedno řešení, nám umožňuje předpokládat, že obecné řešení má tvar ${\displaystyle y(x)=u(x)e^{r_{1}x}\,}$, kde ${\displaystyle u(x)\,}$ je funkce, kterou je třeba nalézt. Substituce ${\displaystyle ue^{r_{1}x}\,}$ dává

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(ue^{r_{1}x})-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u)e^{r_{1}x}}$

pro ${\displaystyle k=1\,}$. ${\displaystyle k\,}$ násobným použitím této skutečnosti dostáváme

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0}$

což po vydělení ${\displaystyle e^{r_{1}x}\,}$ dává

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)=u^{(k)}=0}$

To platí právě tehdy, když ${\displaystyle u(x)\,}$ je polynom stupně ${\displaystyle k-1\,}$, neboli ${\displaystyle u(x)=c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+\cdots +c_{k}x^{k-1}}$^[4]. Protože ${\displaystyle y(x)=ue^{r_{1}x}\,}$, část obecného řešení odpovídající ${\displaystyle r_{1}}$ je

${\displaystyle y_{R}(x)=e^{r_{1}x}(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1})}$

Komplexní kořeny

Pokud má charakteristická rovnice komplexní kořeny ve tvaru ${\displaystyle r_{1}=a+bi}$ a ${\displaystyle r_{2}=a-bi}$, pak obecné řešení je ${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\,}$. Použitím Eulerova vzorce ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,}$ můžeme toto řešení upravit:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}y(x)&=&c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=&c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=&(c_{1}+c_{2})e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{array}}}$

kde ${\displaystyle c_{1}\,}$ a ${\displaystyle c_{2}\,}$ jsou libovolné (i komplexní) konstanty^[4].

Pokud použijeme konstanty ${\displaystyle c_{1}=c_{2}={\tfrac {1}{2}}}$, pak dostaneme partikulární řešení ${\displaystyle y_{1}(x)=e^{ax}\cos bx\,}$.

Pokud použijeme konstanty ${\displaystyle c_{1}={\tfrac {1}{2}}i}$ a ${\displaystyle c_{2}=-{\tfrac {1}{2}}i}$, pak dostaneme lineárně nezávislé řešení ${\displaystyle y_{2}(x)=e^{ax}\sin bx\,}$. Díky principu superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, můžeme příspěvek k obecnému řešení diferenciální rovnice pro dvojici komplexně sdružených kořenů ${\displaystyle r=a\pm bi\,}$ vyjádřit vzorcem ${\displaystyle y_{C}(x)=e^{ax}(c_{1}\cos bx+c_{2}\sin bx)\,}$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Characteristic equation (calculus) na anglické Wikipedii.