Charakteristika (matematika)

Charakteristika okruhu ${\displaystyle R}$ (občas značena char(R)) je definována jako nejmenší počet sečtení jednotkového prvku (značeného obvykle 1) nutný k získání nulového prvku (obvykle značeného 0). Pokud takový součet nelze nalézt, pak řekneme, že charakteristika okruhu ${\displaystyle R}$ je 0 (někdy též ${\displaystyle \infty }$). Jedná se tedy o nejmenší přirozené číslo n splňující rovnost

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{\text{n}}=0}$

případně 0, pokud žádné n splňující tuto rovnost neexistuje.

Charakteristiku okruhu lze také zavést jako exponent aditivní grupy okruhu ${\displaystyle R}$, tj. nejmenší pozitivní přirozené číslo n takové, že splňuje

${\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{\text{n}}=0}$

pro všechny prvky ${\displaystyle a\in R}$ (pokud takové číslo existuje, jinak je charakteristika rovna 0). Pokud je okruh definován bez jednotkového prvku (některá literatura tuto definici používá), pak lze výše uvedeným způsobem definovat charakteristiku i v těchto okruzích. Obě uvedené definice charakteristiky jsou ekvivalentní, což plyne z distributivního zákona pro okruhy.

Příklady

Příkladem okruhu s charakteristikou 0 je obor celých čísel ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ nebo těleso reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Příkladem okruhu s charakteristikou n je obor zbytkových tříd ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Characteristic (algebra) na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Field Characteristic v encyklopedii MathWorld (anglicky)