Darbouxův vzorec

Darbouxův vzorec je v matematické analýze vzorec, který objevil Jean Gaston Darboux[1] pro sumaci nekonečné řady pomocí integrálů nebo vyhodnocování integrálů pomocí nekonečné řady. Je zobecněním Eulerova–Maclaurinova sumačního vzorce na komplexní rovinu. Ten se používá pro podobné účely a odvozuje se podobným způsobem (opakovanou integrací per partes určité volby integrálu). Darbouxův vzorec lze použít pro odvození Taylorovy řady v infinitezimálním počtu.

Tvrzení

Pokud φ(t) je polynom stupně n, a f analytická funkce, pak

Vzorec lze dokázat opakovanou integrací per partes.

Speciální případy

Pokud se jako φ v Darbouxově vzorci použije Bernoulliho polynom, vznikne Eulerův–Maclaurinův sumační vzorec. Jestliže se jako φ použije (t − 1)n, vyjde vzorec pro Taylorovu řadu.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Darboux's formula na anglické Wikipedii.

Literatura

  • DARBOUX, 1876. Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Roč. 3, čís. II, s. 291–312. Dostupné online. 
  • WHITTAKER, E. T.; WATSON, G., 1990. A Course in Modern Analysis. 4. vyd. Cambridge, England: Cambridge University Press. Dostupné online. Kapitola §7.1, A Formula Due to Darboux. 

Externí odkazy