De Rhamův diferenciál

DeRhamův diferenciál je pojem z matematiky, přesněji z pomezí diferenciální geometrie, globální analýzy na varietách a algebraické topologie. Je základním pojmem diferenciální geometrie.

Definice

Nechť ${\displaystyle M}$ je diferencovatelná varieta dimenze ${\displaystyle n}$ a ${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M)}$ je vektorový prostor vnějších diferenciálních forem na ${\displaystyle M}$. Pak deRhamův diferenciál ${\displaystyle d=(d_{k})_{k=0}^{n}}$ je systém zobrazení ${\displaystyle d_{k}:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}$ definovaných (induktivně dle stupně formy) následovně.

Nechť ${\displaystyle \alpha \in \Omega (M)}$ a ${\displaystyle (\phi =(x^{1},\ldots ,x^{n}),U)}$ jsou nějaké souřadnice z atlasu ${\displaystyle M}$. Pak pro každý multiindex ${\displaystyle I}$ existují hladké funkce ${\displaystyle \alpha _{I}}$, že ${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=k}\alpha _{I}dx^{I}}$ na U, kde ${\displaystyle dx^{I}=dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}}$ a ${\displaystyle I=(i_{1},\ldots ,i_{k})}$ a ${\displaystyle i_{1},\ldots i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}.}$ DeRhamův diferenciál ${\displaystyle d\alpha }$ formy ${\displaystyle \alpha }$ je dán předpisem ${\displaystyle d\alpha =\sum _{|I|=k}d\alpha _{I}\wedge dx^{I},}$ kde ${\displaystyle d\alpha _{I}}$ je deRhamův diferenciál funkce (0-formy) ${\displaystyle \alpha _{I}}$. Tento je definován přepisem ${\displaystyle df=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}dx^{i}}$.

Vlastnosti

${\displaystyle d^{2}=0}$ nebo obšírněji ${\displaystyle d_{k+1}d_{k}=0}$ (diferenciál).

${\displaystyle d(\alpha +r\beta )=d\alpha +rd\beta ,r\in \mathbb {R} }$ (linearita nad ${\displaystyle \mathbb {R} }$)

${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{{\mbox{deg }}\alpha }\alpha \wedge d\beta }$ (Leibnizovo pravidlo)

Poznámka

Diferenciální formu ${\displaystyle \alpha }$nazveme uzavřenou, pokud ${\displaystyle d\alpha =0}$. Diferenciální formu ${\displaystyle \alpha }$nazveme exaktní, pokud existuje diferenciální forma ${\displaystyle \beta }$, že ${\displaystyle d\beta =\alpha }$.

Kohomologie komplexu (tzv. de Rhameova komplexu) ${\displaystyle 0\to \Omega ^{1}(M)\to ^{d}\ldots \to ^{d}\Omega ^{n-1}(M)\to ^{d}\Omega ^{n}(M)\to 0}$ se nazývají deRhamovy (kohomologické) grupy. Zajímavé tvrzení je, že tyto nezávisí na diferencovatelné struktuře hladké variety, byť d je pomocí ní definován. Platí dokonce, že v případě simpliciálních variet jsou deRhamovy grupy dané variety izomorfní simpliciálním kohomologickým grupám definovaným kombinatoricky v rámci algebraické topologie.

Literatura

[1] Kowalski, O., Základy matematické analýzy na varietách. Univerzita Karlova, 1975.

[2] Krump, L., Souček, V., Těšínský, J., Matematická analýza na varietách. Karolinum, Praha 1998.

[3] Spivak, M., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1, 3rd Edition, Publish or Perish.

[4] Kobayashi, S., Nomizu, K., Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Wiley and Sons.

[5] Kolář, I., Úvod do globální analýzy, Masarykova Univerzita, 2003.

[6] Frankel, T., The Geometry of Physics: An Introduction, Cambridge.