Deltoid

Deltoid

Deltoid je konvexní čtyřúhelník, jež má právě dvě dvojice shodných sousedních stran.

Název

Název pochází z tvaru řeckého písmene delta. Má tvar (klasického létajícího) draka; ryze anglický termín pro deltoid je „kite“ (drak) a ryze německý výraz je „Drachenviereck“ (dračí čtyřúhelník).

Vlastnosti

Deltoid ABCD je různoběžník (žádné dvě strany nejsou rovnoběžné), má dva páry shodných stran AB = AD, CB = CD, tyto shodné strany sdílejí stejné vrcholy (A, C).

Úhlopříčky deltoidu jsou na sebe kolmé, mají různou velikost. Značíme je AC = e = d1, BD = f = d2. Úhlopříčka BD u deltoidu ABCD je úhlopříčkou AC půlena. Hlavní úhlopříčka AC dělí deltoid na dva shodné trojúhelníky a vedlejší na dva rovnoramenné trojúhelníky, mající tvar řeckého písmene delta, odtud název.

Deltoid je osově souměrný podle jediné hlavní úhlopříčky (AC). Spolu s identitou je to jediný jeho zákrytový pohyb, takže jeho grupa symetrie je jen Z2 .

Deltoid má zřejmě stejný součet délek protilehlých stran, je to tedy tečnový čtyřúhelník. Lze mu tedy vždy vepsat kružnici.

Zvláštní případy

Deltoid s pravými úhly u vrcholů vedlejší úhlopříčky

Jestliže úhly u vrcholů vedlejší úhlopříčky (β, δ) jsou pravé, řadíme jej mezi dvojstředové čtyřúhelníky (lze mu opsat i vepsat kružnici). [1]

Reuleauxovu trojúhelníku lze vepsat deltoid, jehož úhlopříčky mají stejnou délku.

Reuleauxův trojúhelník s vepsaným deltoidem

Speciální případ deltoidu je čtverec – právě když jsou všechny strany shodné AB = AD = BC = BD, všechny úhly jsou pravé a úhlopříčky AC = BD (jsou shodné); a kosočtverec – právě když jsou všechny strany shodné AB = AD = BC = BD a úhlopříčky AC = BD (jsou shodné).[2]

Obvod a obsah

Obvod deltoidu se rovná součtu délek jeho stran :

Obsah deltoidu je roven

,

kde jsou délky jeho úhlopříček. Pokud jsou délky různých stran a úhel jimi sevřený, pak

Podle obecného vztahu pro obsah tečnového čtyřúhelníku platí

,

kde je poloměr vepsané kružnice.

Reference

  1. GANT, P. A note on quadrilaterals. Mathematical Gazette. The Mathematical Association, 1944, s. 29–30. DOI 10.2307/3607362. JSTOR 3607362. (anglicky) 
  2. MRÁZOVÁ, Marta. Čtyřúhelníky [online]. Brno: 2008-12-05 [cit. 2023-11-10]. Dostupné online. 

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Reuleaux kite.svg
Autor: David Eppstein, Licence: CC0
A kite with angles π/3, 5π/12, 5π/6, and 5π/12, inscribed within a Reuleaux triangle. Among all quadrilaterals, this shape is the one maximizing the ratio of perimeter to diameter: see Ball, D.G. (1973), "A generalisation of π", Mathematical Gazette 57 (402): 298–303, and Griffiths, David; Culpin, David (1975), "Pi-optimal polygons", Mathematical Gazette 59 (409): 165–175.
Bicentric kite 001.svg
Autor: xJaM, Licence: CC BY-SA 3.0
Bicentric kite. Made with GeoGebra 3.2.47.0.
Deltoid diagonals1.png
Autor: Lfahlberg, Licence: CC BY-SA 3.0
Делтоид 1 со исти дијагонали