Derivační článek

Derivační článek (derivátor) je elektronický obvod, který v obvodu provádí matematickou operaci derivování – napětí na výstupu je derivací napětí na vstupu podle času. Ideální derivační článek tak realizuje funkci:

${\displaystyle u_{2}(t)={\frac {1}{K_{\rm {d}}}}{\frac {d}{dt}}u_{1}(t)}$,

kde ${\displaystyle K_{\rm {d}}}$ je konstanta derivátoru.

Funkce

Derivační článek má frekvenční charakteristiku hornopropustného filtru – se zvyšující se frekvencí vstupního napětí výstupní napětí roste. U ideálního derivátoru odpovídá desetinásobnému zvýšení frekvence desetinásobný vzrůst amplitudy, sklon jeho logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky tedy je +20 dB/dek.

Přenos derivačního článku je ${\displaystyle F(j\omega )={\frac {U_{2}}{U_{1}}}={\frac {j\omega K_{\rm {d}}}{1+j\omega K_{\rm {d}}}}}$.

Derivační konstanta pasivního derivačního článku s rezistorem a kondenzátorem je K_d  = RC, s rezistorem a cívkou K_d  = L/R.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) derivačního článku s rezistorem a kondenzátorem je:

${\displaystyle |A(j\omega )|_{dB}=20\log |F(j\omega )|=20\log \omega RC-20\log {\sqrt {1+\omega ^{2}R^{2}C^{2}}}}$

První člen LAFCH tvoří přímku stoupající se strmostí 20 dB/dek, která protíná osu X v bodě ${\displaystyle \omega _{0}=1/RC}$ (na obrázku vyznačena černě), u druhého členu lze diskutovat tři případy:

1. Je-li ${\displaystyle \omega RC<<1}$, pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomové úhlové frekvence ${\displaystyle \omega _{0}}$ roven nule.
2. Je-li ${\displaystyle \omega RC=1}$, je ${\displaystyle \omega =\omega _{0}=1/RC=1/K_{i}}$ kde ${\displaystyle \omega _{0}}$ je úhlová frekvence zlomu.
3. Je-li ${\displaystyle \omega RC>>1}$, můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem ve zlomové úhlové frekvenci ${\displaystyle \omega _{0}}$ která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Součtem obou průběhů dostáváme výslednou charakteristiku, ta až do bodu ${\displaystyle \omega _{0}}$ stoupá se strmostí +20 dB/dek k ose X, a od tohoto bodu sleduje osu X (na obrázku vyznačeno modře).

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) derivačního článku s rezistorem a cívkou je:

${\displaystyle |F(j\omega )|_{dB}=20\log |F(j\omega )|=20\log \omega {\frac {L}{R}}-20\log {\sqrt {1+\omega ^{2}{\frac {L^{2}}{R^{2}}}}}}$

První člen LAFCH tvoří přímku stoupající se strmostí 20 dB/dek, která protíná osu X v bodě ${\displaystyle \omega _{0}=R/L}$ (na obrázku vyznačena černě), u druhého členu lze diskutovat tři případy:

1. Je-li ${\displaystyle \omega L/R<<1}$, pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomové úhlové frekvence ${\displaystyle \omega _{0}}$ roven nule.
2. Je-li ${\displaystyle \omega L/R=1}$, je ${\displaystyle \omega =\omega _{0}=R/L=1/K_{i}}$ kde ${\displaystyle \omega _{0}}$ je úhlová frekvence zlomu.
3. Je-li ${\displaystyle \omega L/R>>1}$, můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem v úhlové zlomové frekvenci ${\displaystyle \omega _{0}}$ která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Součtem obou průběhů dostáváme výslednou charakteristiku, ta až do bodu ${\displaystyle \omega _{0}}$ stoupá se strmostí +20 dB/dek k ose X, a od tohoto budu sleduje osu X (na obrázku vyznačeno modře).

LAFCH je pouze aproximací skutečné charakteristiky, největší chyba nastává v bodě ${\displaystyle \omega _{0}}$ (3 dB).

Konstrukce

Derivační článek obsahuje nejméně jednu frekvenčně závislou součástku (kondenzátor, cívka). Nejjednodušším zapojením je pasivní zapojení využívající jeden kondenzátor či cívku. Aktivní elektronický derivátor obsahuje operační zesilovač s rezistorem a kondenzátorem. Derivátor lze také koncipovat jako digitální součástku, např. složením převodníku napětí-frekvence s čítačem impulsů.

Reference

• Kotlan Jiří: Syntéza elektrických obvodů I. Západočeská univerzita, Plzeň 1995. ISBN 80-7082-211-2
• Pinker Jiří, Koucký Václav: Analogové elektronické systémy 2. Západočeská univerzita, Plzeň 2004. ISBN 80-7043-284-5

Související články

• Integrační článek