Diagonála matice

Hlavní diagonála^[1] libovolné matice je v lineární algebře posloupnost tvořená prvním prvkem z prvního řádku, druhým prvkem z druhého řádku, … atd. Hlavní diagonála matice jde z levého horního rohu šikmo doprava dolů.

Vedlejší diagonála^[1] čtvercové matice ${\displaystyle A}$ řádu ${\displaystyle n}$ je posloupnost prvků ${\displaystyle a_{i,n+1-i}}$ pro ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$. Vedlejší diagonála jde z pravého horního rohu do levého dolního.

Pokud se hovoří jen o diagonále matice, je tím obvykle myšlena hlavní diagonála.

Hlavní diagonála

Prvky ${\displaystyle a_{11},a_{22},a_{33},...,a_{nn}}$ čtvercové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ řádu ${\displaystyle n}$ tvoří její hlavní diagonálu. Jinými slovy, hlavní diagonála obsahuje prvky ${\displaystyle a_{ij}}$, kde ${\displaystyle i=j}$.

Pro obdélníkovou matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$ s prvky ${\displaystyle a_{ij}}$ je hlavní diagonála posloupnost prvků ${\displaystyle (a_{ii})_{i=1}^{\min(m,n)}}$.

V následujících třech maticích jsou zvýrazněny hlavní diagonály:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\color {green}{\mathbf {1} }&0&0\\0&\color {green}{\mathbf {1} }&0\\0&0&\color {green}{\mathbf {1} }\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}\color {green}{\mathbf {1} }&0&0&0\\0&\color {green}{\mathbf {1} }&0&0\\0&0&\color {green}{\mathbf {1} }&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}\color {green}{\mathbf {1} }&0&0\\0&\color {green}{\mathbf {1} }&0\\0&0&\color {green}{\mathbf {1} }\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

Stopa matice

Součet prvků na hlavní diagonále se nazývá stopa matice.

Diagonální matice

Diagonální matice má všechny prvky mimo hlavní diagonálu nulové.

Vedlejší diagonála

Prvky ${\displaystyle a_{1n},a_{2,n-1},a_{3,n-2},...,a_{n1}}$ leží na vedlejší diagonále. Vedlejší diagonála je tvořena všemi prvky ${\displaystyle a_{ij}}$, kde ${\displaystyle j=(n-i)+1}$.

V následující matici je zvýrazněna vedlejší diagonála:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&\color {green}{\mathbf {1} }\\0&\color {green}{\mathbf {1} }&0\\\color {green}{\mathbf {1} }&0&0\end{pmatrix}}}$

Sekundární diagonály

Pro prvky bezprostředně sousedící s hlavní diagonálou, se používá termín sekundární diagonála, např. u blokových tridiagonálních matic.

Horní sekundární diagonálu čtvercové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ řádu ${\displaystyle n}$ tvoří prvky ${\displaystyle a_{12},a_{23},...,a_{n-1,n}}$ a dolní sekundární diagonálu tvoří prvky ${\displaystyle a_{21},a_{32},...,a_{n,n-1}}$.

Názvosloví

Terminologie není ustálená.

Vedlejší diagonála se někdy nazývá také antidiagonála, Harrisonova diagonála nebo sekundární diagonála. Anglicky se vedlejší diagonála nazývá antidiagonal německy Gegendiagonal ("gegen" znamená proti).

Anglicky se sekundární diagonály nazývají lower/upper diagonals, německy Nebendiagonalen ("neben" znamená vedle).

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Main diagonal na anglické Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Matice
• Diagonální matice
• Jednotková matice
• Symetrická matice
• Elementární matice
• Stopa matice