Diagonální matice diag ( 4 , − 3 , 0 , 1 ) {\displaystyle \operatorname {diag} (4,-3,0,1)} hlavní diagonále matice. V lineární algebře je diagonální matice čtvercová matice , ve které jsou všechny prvky mimo hlavní diagonálu nulové. Diagonální matice jsou určeny výhradně prvky na hlavní diagonále a tyto prvky mohou být i nulové.
U diagonálních matic se součin a inverze počítá snadněji než u obecných matic. Je-li lineární zobrazení reprezentováno na vektorovém prostoru konečné dimenze pomocí diagonální matice, pak vlastní čísla zobrazení jsou prvky na diagonále.
V geometrii lze diagonální matici použít jako matici škálování , protože příslušný součin vede ke změně měřítka ve směru jednotlivých os. Součin s tzv. skalární maticí vede k rovnoměrné změně měřítka.
Definice Čtvercová matice D {\displaystyle {\boldsymbol {D}}} n {\displaystyle n} tělesem T {\displaystyle T} reálných čísel R {\displaystyle \mathbb {R} }
D = ( d 11 0 ⋯ 0 0 d 22 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 ⋯ 0 d n n ) {\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}} jejíž prvky d i j ∈ T {\displaystyle d_{ij}\in T} i ≠ j {\displaystyle i\neq j} diagonální matice . Často se zapisuje jako:
D = diag ( d 1 , d 2 , … , d n ) = ( d 1 0 ⋯ 0 0 d 2 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 ⋯ 0 d n ) {\displaystyle {\boldsymbol {D}}=\operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{n})={\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &0\\0&d_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}} Někdy se uvedený termín používá i pro obdélníkové matice, ale v tomto článku není toto zobecnění uvažováno.
Ukázky Příkladem reálné diagonální matice řádu 3 je matice:
diag ( 1 , 4 , − 3 ) = ( 1 0 0 0 4 0 0 0 − 3 ) {\displaystyle \operatorname {diag} (1,4,-3)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\end{pmatrix}}} Speciální diagonální matice Jednotková matice je diagonální matice, ve které mají všechny prvky na hlavní diagonále hodnotu 1. Formálně: I n = diag ( 1 , 1 , … , 1 ) {\displaystyle \mathbf {I} _{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1)} Čtvercová nulová matice je diagonální matice, ve které mají všechny prvky na hlavní diagonále hodnotu 0. Formálně: 0 = diag ( 0 , 0 , … , 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {0}}=\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0)} Pokud se všechna čísla na hlavní diagonále diagonální matice shodují, označují se také jako skalární matice .[1] jednotkové matice α I n = diag ( α , α , … , α ) {\displaystyle \alpha \mathbf {I} _{n}=\operatorname {diag} (\alpha ,\alpha ,\dots ,\alpha )} centrem obecné lineární grupy G L n ( R ) {\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )} Vlastnosti Každá diagonální matice je symetrická , dolní trojúhelníková a horní trojúhelníková .
Příslušné diagonální matice tvoří komutativní podokruh okruhu čtvercových matic řádu n {\displaystyle n} Hodnost diagonální matice je rovna počtu nenulových prvků na diagonále.Determinant diagonální matice je součin prvků na hlavní diagonále:det ( diag ( d 1 , d 2 , … , d n ) ) = d 1 d 2 ⋯ d n = ∏ i = 1 n d i {\displaystyle \det \left(\operatorname {diag} \left(d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{n}\right)\right)=d_{1}d_{2}\dotsm d_{n}=\prod _{i=1}^{n}d_{i}} Adjungovaná matice k diagonální matice je opět diagonální.Diagonální matice jsou symetrické , a proto se nemění transpozicí: D T = D {\displaystyle {\boldsymbol {D}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {D}}} Komplexní diagonální matice jsou normální . Pokud mají reálné prvky, jsou dokonce samoadjungované. Aritmetické operace Součet, skalární násobek a součin Součet , skalární násobek a součin diagonálních matic jsou jednoduché operace:
Součet dvou diagonálních matic je diagonální a platí:
diag ( a 1 , a 2 , … , a n ) + diag ( b 1 , b 2 … , b n ) = diag ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 … , a n + b n ) = ( a 1 + b 1 0 ⋯ 0 0 a 2 + b 2 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 ⋯ 0 a n + b n ) {\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},b_{2}\dots ,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}\dots ,a_{n}+b_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}+b_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&a_{n}+b_{n}\end{pmatrix}}} Podobně pro skalární násobek diagonální matice a pro součin dvou diagonálních matic:
α diag ( a 1 , a 2 , … , a n ) = diag ( α a 1 b 1 , α a 2 , … , α a n ) = ( α a 1 0 ⋯ 0 0 α a 2 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 ⋯ 0 α a n ) {\displaystyle \alpha \operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})=\operatorname {diag} (\alpha a_{1}b_{1},\alpha a_{2},\dots ,\alpha a_{n})={\begin{pmatrix}\alpha a_{1}&0&\cdots &0\\0&\alpha a_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\alpha a_{n}\end{pmatrix}}} diag ( a 1 , a 2 , … , a n ) ⋅ diag ( b 1 , b 2 , … , b n ) = diag ( a 1 b 1 , a 2 b 2 , … , a n b n ) = ( a 1 b 1 0 ⋯ 0 0 a 2 b 2 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 ⋯ 0 a n b n ) {\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\cdot \operatorname {diag} (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots ,a_{n}b_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}b_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&a_{n}b_{n}\end{pmatrix}}} Součin matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} m × n {\displaystyle m\times n} m {\displaystyle m} A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
D A = diag ( d 1 , … , d m ) ( a 11 … a 1 n ⋮ ⋮ a m 1 … a m n ) = ( d 1 ⋱ d m ) ( a 11 … a 1 n ⋮ ⋮ a m 1 … a m n ) = ( d 1 a 11 … d 1 a 1 n ⋮ ⋮ d m a m 1 … d m a m n ) {\displaystyle {\boldsymbol {DA}}=\operatorname {diag} (d_{1},\dots ,d_{m}){\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}\\&\ddots \\&&d_{m}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}a_{11}&\dots &d_{1}a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\d_{m}a_{m1}&\dots &d_{m}a_{mn}\end{pmatrix}}} Součin matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} m × n {\displaystyle m\times n} n {\displaystyle n} A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
A D = ( a 11 … a 1 n ⋮ ⋮ a m 1 … a m n ) diag ( d 1 , … , d n ) = ( a 11 … a 1 n ⋮ ⋮ a m 1 … a m n ) ( d 1 ⋱ d n ) = ( d 1 a 11 … d n a 1 n ⋮ ⋮ d 1 a m 1 … d n a m n ) {\displaystyle {\boldsymbol {AD}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}\operatorname {diag} (d_{1},\dots ,d_{n})={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d_{1}\\&\ddots \\&&d_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}a_{11}&\dots &d_{n}a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\d_{1}a_{m1}&\dots &d_{n}a_{mn}\end{pmatrix}}} Regularita a inverzní matice Diagonální matice je regulární právě když jsou všechny prvky na diagonále nenulové. Inverzní matice je pak dána předpisem:
diag ( d 1 , d 2 , … , d n ) − 1 = diag ( d 1 − 1 , d 2 − 1 , … , d n − 1 ) {\displaystyle \operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})^{-1}=\operatorname {diag} \left(d_{1}^{-1},d_{2}^{-1},\dots ,d_{n}^{-1}\right)} Pro pseudoinverzi jakékoli diagonální matice platí následující:
diag ( d 1 , d 2 , … , d n ) + = diag ( d 1 + , d 2 + , … , d n + ) {\displaystyle \operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})^{+}=\operatorname {diag} (d_{1}^{+},d_{2}^{+},\dots ,d_{n}^{+})} kde d i + = d i − 1 {\displaystyle d_{i}^{+}=d_{i}^{-1}} d i ≠ 0 {\displaystyle d_{i}\neq 0} d i + = 0 {\displaystyle d_{i}^{+}=0} singulárním rozkladu lze pseudoinverzní A + {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{+}} A + = V Σ + U T {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{+}={\boldsymbol {V}}\Sigma ^{+}{\boldsymbol {U}}^{\mathrm {T} }}
Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla diagonální matice diag ( d 1 , … , d n ) {\displaystyle \operatorname {diag} (d_{1},\dots ,d_{n})} d 1 , … , d n {\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n}} vlastní vektory e 1 , … , e n {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{n}} bázi prostoru T n {\displaystyle T^{n}}
Uvedený fakt vyplývá z výše uvedeného pravidla pro součin s diagonální maticí zleva, protože rovnice A x = λ x {\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}=\lambda {\boldsymbol {x}}} D e i = d i e i {\displaystyle {\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {e}}_{i}=d_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}}
Aplikace Diagonální matice se vyskytují v mnoha oblastech lineární algebry. Vzhledem k výše uvedenému jednoduchému popisu maticových operací a vlastních čísel a vlastních vektorů je obvykle vhodné nalézt reprezentaci např. lineárního zobrazení pomocí diagonální matice.
Čtvercová matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} n {\displaystyle n} diagonalizovatelná , je-li podobná diagonální matici D A {\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{\boldsymbol {A}}} regulární matice S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} D A = S − 1 A S {\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}^{-1}{\boldsymbol {AS}}} S D A = A S {\displaystyle {\boldsymbol {SD}}_{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {AS}}} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
V tělese reálných nebo komplexních čísel lze navíc dokázat, že každá normální matice je unitárně podobná diagonální matici (pokud A A ∗ = A ∗ A {\displaystyle {\boldsymbol {AA}}^{*}={\boldsymbol {A}}^{*}{\boldsymbol {A}}} unitární matice U {\displaystyle {\boldsymbol {U}}} U A U ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {UAU}}^{*}} singulárního rozkladu navíc vyplývá, že pro libovolnou matici A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} U {\displaystyle {\boldsymbol {U}}} V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} U ∗ A V {\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{*}{\boldsymbol {AV}}}
Odkazy Reference V tomto článku byly použity překlady textů z článků Diagonalmatrix Diagonal matrix
↑ Uwe Storch , Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8 .Literatura HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky . 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5 OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online . Související články 