Diagonalizovatelná matice

V lineární algebře se čtvercové matici ${\displaystyle A}$ říká diagonizovatelná, pokud je podobná diagonální matici ${\displaystyle D}$, tzn. pokud existuje taková regulární matice ${\displaystyle R}$, pro kterou by platilo ${\displaystyle A=R\,D\,R^{-1}}$. Úzce souvisejícím pojmem je diagonalizovatelné lineární zobrazení: tak se označuje endomorfismus ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ nad vektorovým prostorem ${\displaystyle V}$, pokud existuje báze ${\displaystyle V}$ (zvaná diagonální báze), vzhledem ke které je ${\displaystyle T}$ reprezentováno diagonální maticí. Diagonalizace je proces hledání odpovídající diagonální matice a diagonální báze pro čtvercovou matici, resp. endomorfismus.

Čtvercová matice, resp. endomorfismus, které nejsou diagonalizovatelné, se označují jako defektní.

Diagonizovatelné matice a zobrazení jsou předmětem zájmu, protože s diagonálními maticemi se velmi snadno pracuje: jejich vlastní čísla a vlastní vektory jsou zřejmé a umocňování diagonální matice je také snadné, protože stačí umocnit jednotlivé prvky na diagonále matice. V případě, že matice není diagonalizovatelná, tyto vlastnosti do jisté míry supluje tzv. Jordanův tvar, který mají všechny matice.

Pojmy diagonalizovatelnost a diagonalizace se užívají i v kontextu bilineárních a seskvilineárních forem, jejich matice ovšem nejsou v různých bázích podobné (${\displaystyle A=R\,D\,R^{-1}}$), ale kongruentní (${\displaystyle A=R^{T}D\,R}$). Bázi, ve které je bilineární forma diagonální, se říká polární báze a kvůli zmíněným rozdílům v transformaci forem a zobrazení je obecně jiná než diagonální báze zobrazení. Důležitou výjimku ovšem tvoří případy, kdy je ${\displaystyle R}$ ortogonální a platí ${\displaystyle R^{T}=R^{-1}\implies R^{-1}A\,R=R^{T}A\,R}$. Tímto případem se podrobně zabývá ortogonální diagonalizace.^[1]

Podmínka diagonalizovatelnosti

Otázka, zda je matice diagonalizovatelná, úzce souvisí s pojmy algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla.

Vlastní číslo matice je takové ${\displaystyle \lambda }$, které pro nějaký vektor ${\displaystyle v}$ splňuje ${\displaystyle Av=\lambda v}$. Tato podmínka se dá snadno přepsat jako ${\displaystyle (A-\lambda E)\,v=0}$.

Máme-li matici ${\displaystyle A}$ a její vlastní číslo ${\displaystyle \lambda }$, hodnota ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,(A-\lambda E)}$ se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla ${\displaystyle \lambda }$.

Polynom ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda E)}$ se nazývá charakteristický polynom matice ${\displaystyle A}$ a jeho kořeny jsou vlastními čísly ${\displaystyle A}$. Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost ${\displaystyle \lambda }$ jako kořene tohoto polynomu.

Věta: Nechť ${\displaystyle A}$ je čtvercová matice a ${\displaystyle \lambda _{1},\,\dots ,\,\lambda _{k}}$ její vlastní čísla. ${\displaystyle A}$ je diagonalizovatelná právě tehdy, je-li algebraická násobnost každého ${\displaystyle \lambda _{i}}$ rovna jeho geometrické násobnosti.^[1]

Algoritmus pro nalezení diagonálního tvaru

Hledání diagonálního tvaru ${\displaystyle D}$ a matice přechodu ${\displaystyle R}$ lze shrnout do několika kroků:

1. Vyjáříme si charakteristický polynom ${\displaystyle \det(A-\lambda E)}$, najdeme jeho kořeny ${\displaystyle \lambda _{1},\,...,\,\lambda _{k}}$ a poznamenáme si jejich násobnost.
2. Matice ${\displaystyle D}$ bude mít tvar ${\displaystyle D=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\,...,\,\lambda _{1},\lambda _{2},\,...,\,\lambda _{k})}$, každé ${\displaystyle \lambda _{i}}$ bude na diagonále tolikrát, jaká je jeho násobnost.
3. Pro každé ${\displaystyle \lambda _{i}}$ najdeme jádro matice ${\displaystyle (A-\lambda E)}$. Následně nalezneme bázi tohoto jádra ${\displaystyle (v_{i,1},\,...,\,v_{i,m})}$, ${\displaystyle m}$ je násobnost ${\displaystyle \lambda _{i}}$.
4. Sloupce matice ${\displaystyle R}$ budou tvořeny vektory ${\displaystyle (v_{1,1}\,|\,v_{1,2}\,|\,...|\,v_{1,m}\,|\,v_{2,1}\,|\,...|\,v_{k,n})}$.
5. Nalezneme inverzní matici ${\displaystyle R^{-1}}$.
6. Platí ${\displaystyle A=R\,D\,R^{-1}}$, ${\displaystyle D=R^{-1}A\,R}$.

Příklad

Uvažujme matici:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{pmatrix}}.}$

Charakteristický polynom matice je:

${\displaystyle \det(A-\lambda E)=\det {\begin{pmatrix}1-\lambda &2&0\\0&3-\lambda &0\\2&-4&2-\lambda \end{pmatrix}}=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ).}$

Matice má tedy 3 vlastní čísla s násobností 1:

${\displaystyle \lambda _{1}=3,\quad \lambda _{2}=2,\quad \lambda _{3}=1.}$

Diagonální tvar matice je tedy, na pořadí vlastních čísel nezáleží:

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$

Nyní nalezneme ke každému ${\displaystyle \lambda _{i}}$ vlastní vektory. Jsou to:

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}}\in \mathrm {Ker} (A-3E),}$

${\displaystyle v_{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\in \mathrm {Ker} (A-2E),}$

${\displaystyle v_{3}={\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}\in \mathrm {Ker} (A-E).}$

Jednoduchou kontrolou je: ${\displaystyle Av_{k}=\lambda _{k}v_{k}}$

Matici ${\displaystyle R}$ získáme tak, že vlastní vektory zapíšeme do sloupců. Zde již na pořadí záleží, musí být stejné jako pořadí odpovídajících vlastních čísel v ${\displaystyle D}$.

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{pmatrix}}.}$

Nakonec k ${\displaystyle R}$ najdeme inverzi:

${\displaystyle R^{-1}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\2&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}}}$

Přímým výpočtem lze ověřit, že ${\displaystyle R^{-1}A\,R=D}$:

${\displaystyle R^{-1}AR={\begin{pmatrix}0&-1&0\\2&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$

Současná diagonalizovatelnost

Matice ${\displaystyle A,B}$ se označují jako současně diagonalizovatelné, pokud existuje takové ${\displaystyle R}$, že jak ${\displaystyle R^{-1}A\,R}$, tak ${\displaystyle R^{-1}B\,R}$ jsou diagonální. Obdobně endomorfismy ${\displaystyle S,T}$ jsou současně diagonalizovatelné, pokud existuje taková báze, ve které jsou oba diagonální.

Věta: Nechť ${\displaystyle V}$ je vektorový prostor a ${\displaystyle M}$ množina diagonalizovatelných endomorfismů na ${\displaystyle V}$. Pak je ${\displaystyle M}$ současně diagonalizovatelná, právě když každé dva endomorfismy v ní komutují.^[1]

Reference