Difeomorfismus

Difeomorfizmus je v matematice zobrazení, které je spojitě diferencovatelné a existuje k němu inverzní zobrazení, které je také spojitě diferencovatelné. Pokud mezi množinami ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ existuje difeomorfizmus, říkáme, že množiny jsou difeomorfní. Definice se používá obvykle buď pro otevřené podmnožiny Eukleidova prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, anebo pro hladké variety, kde je diferencovatelnost zobrazení také dobře definovaný pojem.

Formální definice

Pro variety M a N, je bijekce ${\displaystyle f}$ z M do N difeomorfizmus^[1] pokud jak

${\displaystyle f:M\to N}$

tak i inverze

${\displaystyle f^{-1}:N\to M}$

jsou diferencovatelné (pokud jsou tyto funkce dokonce r krát spojitě diferencovatelé, f se nazývá ${\displaystyle C^{r}}$-difeomorfmizmus).

Dvě variety M a N jsou difeomorfní, pokud existuje difeomorfizmus :${\displaystyle f:M\to N}$.

Podobně funkce :${\displaystyle f:M\to N\,}$ se nazývá lokální difeomorfizmus, pokud pro každý bod ${\displaystyle x\in M}$ existuje jeho okolí U takové, že ${\displaystyle f(U)}$ je otevřené v N a

${\displaystyle f|_{U}:U\to f(U)\,}$

je difeomorfizmus.

Příklady

• Polární souřadnice ${\displaystyle (r,\phi )}$ v rovině můžeme chápat jako difeomorfizmus

${\displaystyle (0,\infty )\times (-\pi ,\pi )\to \mathbb {R} ^{2}\backslash \{(x,0);\,\,x\leq 0\},}$

definován vzorcem

${\displaystyle (r,\phi )\mapsto (x,y)=(r\cos \phi ,r\sin \phi ).}$

Toto zobrazení má v každém ${\displaystyle (r,\phi )}$ totální diferenciál, stejně jako inverzní zobrazení.

• Eukleidovská rovina je difeomorfní sféře bez jednoho bodu, příslušný difeomorfizmus je stereografická projekce.

Související články

• Homeomorfismus

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu difeomorfismus na Wikimedia Commons

Reference