Diferenční rovnice

Diferenční rovnice je rovnice pro neznámou posloupnost ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$obsahující její diference.

Máme-li danou posloupnost ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$, pak její (první) diference (zprava) je posloupnost definovaná jako

${\displaystyle \Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}\,}$.

Druhá diference je diference první diference:

${\displaystyle \Delta ^{2}a_{n}=\Delta a_{n+1}-\Delta a_{n}=(a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_{n})=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}}$

Obecně k-tou diferenci definujeme jako

${\displaystyle \Delta ^{k}a_{n}=\Delta (\Delta ^{k-1}a_{n})=\Delta ^{k-1}a_{n+1}-\Delta ^{k-1}a_{n}\,}$.

Vztah k rekurentním rovnicím

Lineární rekurentní rovnice lze jednoznačně převést na (tzv. přidružené) diferenční rovnice a naopak; někteří autoři používají tyto dva pojmy zaměnitelně. Například, diferenční rovnice

${\displaystyle 3\Delta ^{2}a_{n}+2\Delta a_{n}+7a_{n}=0\,}$

je ekvivalentní přidružené rekurentní rovnici

${\displaystyle 3a_{n+2}-4a_{n+1}+8a_{n}=0\,}$.