Difuzní rovnice

Difuzní rovnice je matematický model difuze. Jedná se o obecnou rovnici používanou obecněji k modelování transportních dějů v přírodě. Tedy nejenom k modelování difuze, ale i k modelování vedení tepla nebo proudění podzemní vody. Difuzní rovnice bývá formulována v mnoha více či méně konkretizovaných tvarech v závislosti na spefických vlastnostech materiálu (izotropie, homogenita, (ne-)linearita) nebo difuzního procesu (existence nebo neexistence zdrojů, stacionarita nebo časový vývoj apod.)

Obecný tvar difuzní rovnice

Difuzní rovnice vznikne dosazením konstitutivního zákona do rovnice kontinuity. Tímto spojením vznikne parciální diferenciální rovnice

kde ${\displaystyle u}$ je hustota látky podléhající difuzi, ${\displaystyle \sigma }$ je navýšení této hustoty za jednotku času působením zdrojů, ${\displaystyle \nabla (\cdot )}$ je diferenciální operátor divergence, ${\displaystyle D}$ je difuzní koeficient a ${\displaystyle \nabla u}$ je gradient ${\displaystyle u}$.

Slovně tato rovnice vyjadřuje,

• že množství stavové veličiny, které v daném v daném místě přibude za jednotku času je dáno součtem množství, které vygenerují zdroje a množství, o které se zeslabí tok tímto místem (rovnice kontinuity),
• a že tok je úměrný poklesu koncentrace látky podléhající difuzi (s povolením tenzorové povahy pro konstantu úměrnosti, konstitutivní zákon).

Difuzní rovnice v kartézských souřadnicích

V kartézských souřadnicích je možné difuzní rovnici ve dvou dimenzích pro obecný tenzorový difuzní koeficient ${\displaystyle D={\begin{pmatrix}D_{xx}&D_{xy}\\D_{xy}&D_{yy}\end{pmatrix}}}$ rozepsat do tvaru

Analogicky je možno postupovat ve třech dimenzích.

• Jsou-li souřadné osy ve vlastních směrech difuzního koeficientu, neuplatní se člen se smíšenými derivacemi, protože v tomto případě je difuzní koeficient diagonální maticí a platí ${\displaystyle D_{xy}=0}$. Pro transformaci do takové soustavy souřadnic slouží matice přechodu.
• Je-li materiál izotropní, je difuzní koeficient ${\displaystyle D}$ skalární veličinou a potom platí ${\displaystyle D_{xy}=0}$ a ${\displaystyle D_{xx}=D_{yy}=D}$. Při vhodné volbě jednotek je navíc možno tento koeficient položit roven jedné.
• Je-li materiál homogenní a je-li difuzní koeficient nezávislý na hustotě veličiny podléhající difuzi, je možné členy s kvaziderivacemi ve tvaru ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(D_{xx}{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}$ upravit na členy s druhými derivacemi ve tvaru ${\displaystyle D_{xx}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$.
• Pro izotropní homogenní materiál s difuzním koeficentem nezávislým na hustotě veličiny ${\displaystyle u}$ se rovnice redukuje na rovnici^[1]
  $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\sigma +D\nabla ^{2}u,}$$
  kde ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ je Laplaceův operátor.
• Je-li paricální derivace podle času na levé straně rovnice nulová, redukuje se rovnice na stacionární difuzní rovnici. Taková rovnice modeluje stacionární stav, který většinou nastane poté, co se studovaný systém vyrovná s vnějšimi podmínkami a tok i hustota se ustálí na stabilních hodnotách.
• Pokud veličina podléhající difuzi nemůže vznikat ani zanikat, neuplatní se člen vyjadřující působení zdrojů a platí ${\displaystyle \sigma =0}$. V tomto případě jde o bezzdrojovou rovnici.

Vzhledem k výše uvedeným možným modifikacím a zjednodušením se zřídka pracuje s difuzní rovnicí přímo v uvedeném tvaru, ale pracuje se s jejími vhodnými specifikacemi.

Některá zobecnění difuzní rovnice

• Pro modelování difuze v pohyblivém prostředí je nutno do celkové bilance započítat i pohyb tohoto prostředí. Příslušná rovnice se nazývá rovnice reakce difuze.
• Pro některé úlohy je vhodnější použít nelineární mocninnou závislost v konstitutivním zákoně. To vede na difuzní rovnici s p-Laplaciánem namísto lineárního Laplaceova operátoru.

Reference

Související články

• Rovnice kontinuity
• Diferenciální operátor
• Parciální diferenciální rovnice
• Druhý Fickův zákon