Dinicův algoritmus

Dinicův algoritmus je algoritmus vyvinutý Jefimem Dinicem (1970) pro výpočet maximálního toku v síti. Hlavní myšlenka algoritmu spočívá v iterativním výpočtu tzv. "blokujících" toků, které se postupně nasčítají až na tok maximální. Tento přístup dovoluje v průměrném případě počítat maximální tok rychleji než Fordovým–Fulkersonovým algoritmem, který pro výpočet využívá hledání zlepšujících cest.

Algoritmus

1. vyrobím síť rezerv
2. projdu graf z s (zdroje) do šířky a zjistím délku d nejkratší cesty do t (stoku)
3. vyhodím

   hrany začínající a končící ve stejné vrstvě nebo hrany nazpátek (ty nepoužijeme—nejkratší cesta jimi jít nemůže)

   a také vrcholy, které tvoří "slepé uličky" (nevede z nich žádná dopředná hrana)

   a hrany do těchto vrcholů (cyklicky—odstraněním konce slepé uličky může vzniknout nový konec)

4. výsledek kroku 3 nazvu "čistá síť"
5. najdu cestu z s do t délky d
6. spočítám m z toku a rezerv tak, že se sečte vstupní toky do uzlu a rozdělí se dle volných kapacit na výstupní hrany.
7. zjistím minimum m zpětným průchodem cesty a snížím vstupní toky na využitelnou kapacitu výstupního toku tak, aby platilo že součet vstupů se rovná součtu výstupů.
8. zjištěné minimum m přičtu k dosud nalezeným tokům v síti a síť rezerv upravíme tak, že

   nalezené toky zaneseme do grafu jako zpětné hrany, případně navýším existující a

   od dopředných hran kapacit odečtu nalezené toky.

   pokud je kapacita nulová, pak šipku z grafu odstraním.

9. vyčistím síť, a pokud zbude nějaká cesta z s do t délky d, jdu na krok 5
10. vezmu celou síť a jdu na 2 (nejkratší cesta bude mít délku d+1, ty kratší už v síti rezerv nejsou)
11. pokud už neexistuje cesta z s do t, skončil jsem (můžu najít i hrany minimálního řezu—jejich počáteční vrcholy jsou konci slepých uliček)

Příklad

Následující příklad ilustruje průběh Dinicova algoritmu.
${\displaystyle G}$ představuje aktuální stav grafu (hrany jsou ohodnoceny nalezeným tokem / kapacitou hrany),
${\displaystyle G_{f}}$ síť rezerv (hodnoty hran představují kapacitu hrany; směr šipek ukazuje použitelný/použitý toku)
${\displaystyle G_{L}}$ nalezený blokující tok (hrany jsou ohodnoceny nově nalezeným tokem m / zbývající kapacita pro aktuální iteraci - hodnoty zůstavších hran z grafu ${\displaystyle G_{f}}$).
Červené hodnoty ve vrcholem ${\displaystyle G_{L}}$ reprezentují vzdálenost bodů od zdroje (${\displaystyle \operatorname {dist} (v)}$), v ostatních grafech očíslování vrcholů.

	${\displaystyle G}$	${\displaystyle G_{f}}$	${\displaystyle G_{L}}$
1.
	Nejkratší cesta ze zdroje do stoku má délku 3, blokojící tok sestává z následujících zlepšujících cest cest: ${\displaystyle \{s,1,3,t\}}$ se 4 jednotkami toku, ${\displaystyle \{s,1,4,t\}}$ s 6 jednotkami toku, ${\displaystyle \{s,2,4,t\}}$ se 4 jednotkami toku. Celkově má blokující tok velikost 14 jednotek.
2.
	Do ${\displaystyle G}$ připočteme blokující tok nalezený v předchozí iteraci. Do ${\displaystyle G_{f}}$ přidáme "protisměrné" hrany reprezentující rezervy hran v protisměru. Opět nalezneme všechny nejkratší zlepšující cesty (v tomto případě cesty délky 4) a "hladově" nalezneme blokující tok. Ten bude obsahovat pouze následující cestu: ${\displaystyle \{s,2,4,3,t\}}$ s 5 jednotkami. K celému toku připočteme blokující tj. ${\displaystyle |f|}$ is 14 + 5 = 19.
3.
	Blokující tok opět připočteme do původního grafu ${\displaystyle G}$ a upravíme i hodnoty v grafu rezerv (${\displaystyle G_{f}}$). V tuto chvíli již neexistuje žádná cesta ze zdroje do stoku (${\displaystyle t}$), tedy algoritmus vrátí maximální tok ${\displaystyle |f|}$ = 19.

Složitost algoritmu

Asymptotická časová složitost algoritmu je ${\displaystyle O(n^{2}m)}$, kde n označuje počet vrcholů a m počet hran zpracovávaného grafu. Pokud chceme vyjádřit složitost pouze v závislosti na n, je tato ${\displaystyle O(n^{4})}$, neboť hran grafu je řádově nejvýše ${\displaystyle n^{2}}$.

Algoritmus lze rozdělit na fáze, kde jednou fází se rozumí jedna posloupnost kroků 2–7. O fázích platí:

• každá fáze probíhá s asymptotickou časovou složitostí ${\displaystyle O(nm)}$
• v každé fázi hledáme cesty ze zdroje do spotřebiče délky d, což je délka nejkratší nezpracované cesty v grafu; d je alespoň o 1 větší než d předchozí fáze
• fází proběhne nejvýše n

Algoritmus se dá modifikovat takzvanou metodou tří Indů: místo hledání cesty se pro každý vrchol spočítá, jaké mají rezervy vstupní hrany a výstupní hrany jednotlivých vrcholů a vrcholem s nejmenším minimem těchto hodnot se tok zvýší. Tím se asymptotická složitost zlepší na ${\displaystyle O(n^{3})}$.

S použitím datových struktur (dynamické stromy) je možno nalézt blokující tok ve vrstevnaté síti v čase ${\displaystyle O(m\log n)}$, čímž dostáváme složitost celého algoritmu ${\displaystyle O(mn\log n)}$.

Související články

• Tok v síti
• Goldbergův algoritmus
• Fordův-Fulkersonův algoritmus

Reference

• Jakub Černý: Základní grafové algoritmy (texty v pdf)
• Martin Mareš, Tomáš Valla: Průvodce labyrintem algoritmů (text v pdf)