Direktní součin grup

Direktní součin grup je pojem z oboru teorie grup, podoboru matematiky. V nejzákladnějším případě se jedná o operaci, kterou je vytvořena nová grupa ze dvou již existujících grup tak, že novým nosičem je kartézský součin nosičů původních grup (prvky nové grupy jsou tedy uspořádané dvojice původních prvků) a nová operace odpovídá původním operacím prováděným zvlášť nad jednotlivými složkami. V kontextu komutativních grup, kde je obvyklé značit grupovou operaci jako sčítání a nikoliv jako násobení, je obvyklé stejný postup nazývat direktní součet grup^[1] nebo direktní suma grup^[2].

V součinovém kontextu je obvyklé značení ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ a v součtovém ${\displaystyle G_{1}\oplus G_{2}}$. Pro součiny i součty je běžné definici rozšířit na více grup ${\displaystyle G_{i}}$, značení je pak ${\displaystyle \coprod _{i}G_{i}}$ v součinovém kontextu^[3] a ${\displaystyle \bigoplus _{i}G_{i}}$ v součtovém.^[2]

Pojem má analogie a zobecnění i mimo teorii grup, například v teorii okruhů existuje direktní součet okruhů a v teorii svazů existuje direktní spojení.^[1]

Reference