Diskriminant

Diskriminant (latinsky discriminare - rozlišit) je hodnota získaná z koeficientů polynomu, která umožňuje určit vlastnosti jeho kořenů, aniž bychom je znali. Používá se při řešení algebraických rovnic, především kvadratických, a také při studiu vlastností polynomických funkcí. Přesněji řečeno, je to polynomiální funkce získaná z koeficientů původního polynomu. Diskriminant je definován pro polynomy libovolného stupně, ale nejčastěji se používá pro zkoumání kvadratických polynomů.

Např. v případě kvadratických rovnic s reálnými koeficienty rozhoduje diskriminant o množině, ve které se nacházejí její kořeny a o jejich násobnosti. Pro ${\displaystyle D\geq 0}$ jsou kořeny z množiny reálných čisel, která je podmnožinou množiny komplexních čísel. Právě pro ${\displaystyle D=0}$ má rovnice dvojnásobný (reálný) kořen. Pro ${\displaystyle D<0}$ jsou oba kořeny imaginární.

Diskriminant lze také obecněji definovat pro kvadratické formy.

Diskriminant kvadratických rovnic

Pro kvadratickou rovnici ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$ (kde ${\displaystyle a\neq 0}$) je diskriminant ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$.

U rovnic s reálnými koeficienty znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů:

• Pokud ${\displaystyle D>0}$, pak má daná rovnice právě dva různé reálné kořeny ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}}$.
• Pokud ${\displaystyle D=0}$, pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný reálný kořen ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}$.
• Pokud ${\displaystyle D<0}$, pak má daná rovnice právě dva různé imaginární sdružené kořeny ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}}}$.

Diskriminant ryze kvadratické rovnice, dané předpisem: ${\displaystyle ax^{2}+c=0}$ (kde ${\displaystyle a,c\neq 0}$), je ${\displaystyle D_{r}=-4ac}$:

• Pokud ${\displaystyle D>0}$ (liší se znaménko ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle c}$), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny: ${\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}}$.
• Pokud ${\displaystyle D<0}$ (shoduje se znaménko ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle c}$), má daná rovnice dva navzájem opačné imiganinární kořeny: ${\displaystyle x_{1,2}=\pm i{\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}}$.

Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru

${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$

je ${\displaystyle D_{n}=p^{2}-4q}$.

U rovnic s komplexními koeficienty diskriminant jen určuje existenci násobného kořene - právě v tomto případě je nulový.

Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně

Pro kořeny ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ polynomu druhého stupně platí:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}),}$

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$ ; ${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$.

Vyjádření: ${\displaystyle b=-(x_{1}+x_{2})a;}$ ${\textstyle c=x_{1}x_{2}a}$;

Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu: ${\displaystyle D=b^{2}-4ac=(x_{1}+x_{2})^{2}a^{2}-4a^{2}x_{1}x_{2}=a^{2}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})=a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}.}$

Diskriminant polynomu druhého stupně (kvadratické rovnice) s kořeny ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ je dán vztahem: ${\textstyle D=a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}.}$

• Dva různé reálné kořeny ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ pro: ${\textstyle D=a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}>0}$
• Jeden dvojnásobný reálný kořen ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ pro: ${\textstyle D=a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}=0}$
• Dva komplexně sdružené imaginární kořeny ${\displaystyle x_{1}=m+ni,x_{2}=m-ni}$ pro: ${\displaystyle D=a^{2}(m+ni-m+ni)^{2}=-4a^{2}n^{2}<0.}$

Diskriminant kubických rovnic

U kubické rovnice ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$ (kde ${\displaystyle a\neq 0}$) se diskriminant definuje s pomocí jejích kořenů ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ vztahem

${\displaystyle D_{3}=a^{4}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}.}$

Lze ho vyjádřit díky symetrii (pomocí Viètových vzorců) jen pomocí koeficientů rovnice jako

${\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.}$

S reálnými koeficienty platí:

• Tři různé reálné kořeny pro ${\textstyle D>0.}$

• Násobný kořen ze tří reálných pro ${\textstyle D=0.}$

• Jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny pro ${\displaystyle D<0.}$

U rovnice v redukovaném tvaru

${\displaystyle x^{3}+px+q=0}$

se počítá diskriminant jednodušeji jako

${\displaystyle D=-[({\frac {p}{3}})^{3}+({\frac {q}{2}})^{2}],}$

což je ${\displaystyle D_{3}/108.}$

Diskriminant polynomu n−tého stupně

Diskriminantem polynomu ${\displaystyle n}$−tého stupně s kořeny ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ rozumíme výraz ${\displaystyle D_{n}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}^{n}(x_{i}-x_{j})^{2}=}$

${\displaystyle =a_{n}^{2n-2}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}\dotsm (x_{2}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{4})^{2}\dotsm (x_{3}-x_{4})^{2}\dotsm (x_{n-1}-x_{n})^{2}}$

Jedná se v podstatě o součin všech kvadrátů rozdílů neuspořádaných dvojic kořenů. Proto je roven nule, právě když existuje násobný kořen.

U rovnice s reálnými koeficienty platí, že pokud má všechny kořeny reálné, je diskriminant nezáporný. Opak platí jen u rovnic nejvýše třetího stupně.

Diskriminant polynomu stupně n je symetrický polynom stupně n(n-1) jeho kořenů a lze jej vyjádřit pomocí Vietových vzorců jen pomocí koeficientů polynomu.

Diskriminant úzce souvisí s Vandermondovým determinantem:

${\displaystyle D_{n}=a_{n}^{2n-2}[\det {\boldsymbol {V}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})]^{2}}$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Diskriminante na německé Wikipedii.

Související články

• Kvadratická rovnice
• Kubická rovnice
• Vandermondova matice

Externí odkazy

• Diskriminant v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Řešené příklady
• Kubická rovnice