Distributivní svaz

Distributivní svaz je v matematice označení svazu, jehož dvě operace jsou vzájemně distributivní.

Definice

Svaz (A,∧,∨) se nazývá distributivní, platí-li:

1. ${\displaystyle \forall a,b,c\in A:a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c)}$

2. ${\displaystyle \forall a,b,c\in A:a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c)}$

Podmínky 1 a 2 jsou navzájem duální, tzn. platí-li jedna pak platí i druhá.

Podsvaz distributivního svazu

Je-li svaz (A,∧,∨) distributivní, pak každý jeho podsvaz je také distributivní.

Vlastnosti

Svaz (A,∧,∨) je distributivní právě tehdy, když žádný jeho podsvaz není izomorfní s M₅ ani N₅, neboť tyto svazy distributivní nejsou (M₅ je tzv. diamant , N₅ tzv. pentagon).

V distributivním svazu platí obdoba pravidla o krácení z grup , tedy ${\displaystyle \forall a,b,c\in A:a\wedge b=a\wedge c,a\vee b=a\vee c\Rightarrow b=c}$.

Každý distributivní svaz je také modulární.

Příklad

Svaz (P(M),${\displaystyle \subseteq \,\!}$), kde P(M) je potenční množina je distributivní.

Související články

• Svaz
• Modulární svaz
• Podsvaz
• Úplný svaz