Dostředivé zrychlení

Při křivočarém pohybu je výhodné rozložit zrychlení do směru pohybu, tzn. do směru tečny k trajektorii, a do směru kolmého k pohybu, tzn. do směru normály k trajektorii. Hovoříme pak o tečném zrychlení a normálovém (také dostředivém) zrychlení.

Směr kolmý k trajektorii je dán normálou trajektorie a složka zrychlení, která má stejný směr jako tato normála, se označuje jako normálové zrychlení (hovoří se také o normálové složce zrychlení) ${\displaystyle \mathbf {a} _{n}}$. Normálové zrychlení směřuje do středu křivosti trajektorie, a proto se často nazývá dostředivým zrychlením a značí ${\displaystyle \mathbf {a} _{d}}$.

Vektor a velikost normálového zrychlení

Pro velikost normálového zrychlení platí vztah

${\displaystyle a_{n}={\frac {\mathrm {d} v_{n}}{\mathrm {d} t}}={\frac {v^{2}}{\rho }}}$,

kde ${\displaystyle \mathrm {d} v_{n}}$ je změna velikosti rychlosti ve směru normály k trajektorii pohybu, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ je okamžitá rychlost a ${\displaystyle \rho }$ je poloměr křivosti v daném bodě trajektorie.

Velikost dostředivého zrychlení závisí na rychlosti (obvodové nebo úhlové) a na poloměru zakřivení trajektorie (u pohybu po kružnici na poloměru kružnice). Směr dostředivého zrychlení je do středu zakřivení (do středu kružnice) a je kolmý k vektoru rychlosti.

Dostředivé zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici

Při rovnoměrném pohybu po kružnici je poloměr křivosti ${\displaystyle \rho }$ roven poloměru kružnice ${\displaystyle r}$. Použijeme-li navíc vztah mezi obvodovou a úhlovou rychlostí, pak pro velikost dostředivého zrychlení získáme vztah

${\displaystyle a_{d}={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}\cdot r\,}$,

kde v je velikost obvodové rychlosti, ω úhlová rychlost, r je poloměr kružnice.

Odvození

K odvození velikosti dostředivého zrychlení

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}}$

${\displaystyle {\frac {v_{a}}{\Delta v}}={\frac {r}{\Delta s}}}$

Vzorec vyplývá z podobnosti rovnoramenných trojúhelníků se stejným vrcholovým úhlem, přičemž trajektorii ${\displaystyle {\Delta s}}$ aproximujeme přeponou AB, neboť ta se k trajektorii limitně blíží.

${\displaystyle v_{a}\cdot \Delta s=r\cdot \Delta v}$

${\displaystyle \Delta v={\frac {v_{a}\cdot \Delta s}{r}}}$

${\displaystyle {\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v_{a}}{r}}\cdot {\frac {\Delta s}{\Delta t}}}$

Obě strany rovnice vydělíme ${\displaystyle {\Delta t}}$ a interpretujeme vzniklé derivace (diferenciály) jako zrychlení a rychlost.

${\displaystyle a={\frac {v_{a}}{r}}\cdot v_{a}}$

${\displaystyle \rightarrow a={\frac {v_{a}^{2}}{r}}\Leftrightarrow a=\omega ^{2}\cdot r}$

Související články

• Zrychlení
• Tečné zrychlení
• Dostředivá síla