Einsteinovy rovnice gravitačního pole

Einsteinovy rovnice gravitačního pole (ERGP, také známy jako Einsteinovy rovnice) zahrnují soubor 10 rovnic v obecné teorii relativity Alberta Einsteina, které popisují základní interakci gravitace jako výsledek zakřivení časoprostoru hmotou-energií.^[1] Poprvé je Einstein publikoval v roce 1915 jako tenzorové rovnice,^[2] ERGP týkající se místa časoprostorového zakřivení (vyjádřeno Einsteinovým tenzorem) s lokální energií a hybností v rámci tohoto časoprostoru (vyjádřeno tenzorem energie a hybnosti).^[3]

Podobně jako způsob, kterým jsou elektromagnetická pole určována náboji a proudy pomocí Maxwellových rovnic, jsou ERGP používány k určení geometrie časoprostoru vyplývající z přítomnosti hmotnosti-energie a lineární hybnosti, tj. určují metrický tenzor prostoročasu pro dané uspořádání energie a hybnosti v časoprostoru. Vztah mezi metrickým tenzorem a Einsteinovým tenzorem umožňuje, aby ERGP byly zapsány jako soubor nelineárních parciálních diferenciálních rovnic, když jsou používány tímto způsobem. Řešení ERGP jsou součásti metrického tenzoru. Setrvačnost trajektorií částic a záření (geodetika) ve výsledné geometrie se pak vypočte pomocí geodetické rovnice.

Stejně jako při zachování místní energie- hybnosti ERGP zachovává Newtonův gravitační zákon, pokud je gravitační pole slabé a rychlosti jsou mnohem menší než rychlost světla.^[4]

Přesná řešení pro ERGP lze nalézt pouze za zjednodušujících předpokladů, jako je symetrie. Nejčastěji se studují speciální třídy přesných řešení, protože modelují mnoho gravitačních jevů, jako jsou rotující černé díry a rozpínající se vesmír. Další zjednodušení je dosaženo aproximací skutečného časoprostoru jako plochého časoprostoru s malou odchylkou, která vede k linearizovaným ERGP. Tyto rovnice se používají ke studiu jevů, jako jsou gravitační vlny.

Matematická forma

Rovnice vychází z toho, že fyzikálnímu poli lze přiřadit symetrický tenzor energie a hybnosti ${\displaystyle T^{\iota \kappa }}$. Dále se v teorii relativity předpokládá, že gravitační pole v daném bodě ${\displaystyle x^{\lambda }}$ je možné popsat deseti funkcemi ${\displaystyle g^{\iota \kappa }(x^{\lambda })}$, ${\displaystyle \iota ,\kappa =0,1,2,3}$ (viz metrický tenzor).

Einsteinovy rovnice je možné zapsat ve tvaru

${\displaystyle G^{\iota \kappa }(g_{\mu \nu ,\pi \rho },g_{\mu \nu ,\pi },g_{\mu \nu })=\varkappa T^{\iota \kappa }(g_{\mu \nu ,\rho },g_{\mu \nu },\phi )}$,

kde ${\displaystyle T^{\iota \kappa }}$ je tenzor energie a hybnosti, ${\displaystyle G^{\iota \kappa }}$ je Einsteinův tenzor a symbol ${\displaystyle \phi }$ je označením pro všechna ostatní fyzikální pole čistě negeometrické povahy (včetně jejich derivací), jako je např. hmotný prach, tekutina nebo elektromagnetické pole. ${\displaystyle \varkappa }$ je Einsteinova gravitační konstanta

${\displaystyle \varkappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$.

V tomto vzorci je ${\displaystyle G}$ Newtonova gravitační konstanta a ${\displaystyle c}$ je rychlost světla.

O Einsteinovu tenzoru ${\displaystyle G^{\iota \kappa }}$ lze předpokládat, že závisí pouze na metrickém tenzoru a jeho parciálních derivacích podle ${\displaystyle x^{\lambda }}$ nejvýše do druhého řádu. Obvykle se také požaduje, aby ${\displaystyle G^{\iota \kappa }}$ záviselo na druhých derivacích metrického tenzoru lineárně, což lze zapsat jako

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G^{\iota \kappa }}{\partial g_{\rho \sigma ,\tau \mu }\partial g_{\alpha \beta ,\gamma \delta }}}=0}$.

Zákon zachování energie a hybnosti omezuje pravou stranu Einsteinových rovnic podmínkou ${\displaystyle T_{;\kappa }^{\iota \kappa }=0}$. Divergence levé strany Einsteinových rovnic tedy musí být identicky nulová, tzn. ${\displaystyle G_{;\iota }^{\iota \kappa }=0}$.

Lze ukázat, že pokud má ${\displaystyle G^{\iota \kappa }}$ záviset pouze na metrickém tenzoru a jeho derivacích, pak je tvar ${\displaystyle G^{\iota \kappa }}$ určen až na konstanty ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}}$ jako

${\displaystyle G^{\iota \kappa }=a_{1}R^{\iota \kappa }+a_{2}Rg^{\iota \kappa }+a_{3}g^{\iota \kappa }}$

kde ${\displaystyle R^{\iota \kappa }}$ je Ricciho tenzor a ${\displaystyle R}$ je skalární křivost.

Srovnáním tohoto vztahu se zúženými formami Riemannova tenzoru lze dojit k závěru, že můžeme položit ${\displaystyle a_{1}=-1}$ a ${\displaystyle a_{2}={\frac {1}{2}}}$. Konstanta ${\displaystyle a_{3}}$ zůstává neurčena. Zavedeme-li novou konstantu ${\displaystyle \Lambda =-a_{3}}$, můžeme rovnici popisující gravitační zákon vyjádřit jako

${\displaystyle R^{\iota \kappa }-{\frac {1}{2}}Rg^{\iota \kappa }-\Lambda g^{\iota \kappa }=\varkappa T^{\iota \kappa }}$

Konstanta ${\displaystyle \Lambda }$ se označuje jako kosmologická konstanta. Konstanta ${\displaystyle \Lambda }$ hraje úlohu pouze v kosmologických měřítkách. Pokud řešíme problémy, které nejsou kosmologického charakteru, klademe ${\displaystyle \Lambda =0}$, tzn.

${\displaystyle R^{\iota \kappa }-{\frac {1}{2}}Rg^{\iota \kappa }=\varkappa T^{\iota \kappa }}$

Zúžením této dostaneme skalární rovnici

${\displaystyle R=\varkappa T}$

S pomocí této rovnice lze předchozí rovnici upravit na

${\displaystyle R^{\iota \kappa }=\varkappa (T^{\iota \kappa }-{\frac {1}{2}}Tg^{\iota \kappa })}$

V prázdném prostoru, tedy v dokonalém vakuu, platí

${\displaystyle T^{\iota \kappa }=0}$

V takovém případě platí ${\displaystyle R=0}$ Odtud plyne, že v prázdném prostoru se rovnice gravitačního pole redukují na tvar

${\displaystyle R^{\iota \kappa }=0}$

Einsteinovy rovnice gravitačního pole, představují systém deseti nelineárních parciálních diferenciálních rovnic. Tyto rovnice tvoří základ obecné teorie relativity.

Vzhledem k tomu, že tyto rovnice jsou nelineární, neplatí v obecné teorii relativity princip superpozice.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Einstein field equations na anglické Wikipedii.

Literatura

Viz zdroje obecné teorie relativity.

• MISNER, Charles W.; THORNE, Kip S.; WHEELER, John Archibald, 1973. Gravitationlocation=San Francisco. [s.l.]: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0. (anglicky) Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
• WEINBERG, Steven, 1972. Gravitation and Cosmology. [s.l.]: John Wiley & Sons. Dostupné online. ISBN 0-471-92567-5. (anglicky) Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
• PEACOCK, John A., 1994. Cosmological Physics. [s.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0521410724. (anglicky) Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.

Související články

• Princip ekvivalence
• Newtonův gravitační zákon

Externí odkazy

• Výuka o relativitě na Caltechu – jednoduchý úvod k Einsteinovým rovnicím gravitačního pole (anglicky)
• Význam Einsteinovy rovnice – Vysvětlení Einsteinovy rovnice pole, její odvození a některé její důsledky (anglicky)
• Video přednáška o Einsteinových rovnicích gravitačního pole (Edmund Bertschinger, profesor fyziky na MIT) (anglicky)
• Oblouk a lešení: Jak Einstein našel své rovnice pole Physics Today November 2015, Historie objevu rovnice gravitačního pole (anglicky)
• Einsteinovy rovnice gravitačního pole na stěně muzea Boerhaave v centru Leidenu (anglicky) Archivováno 18. 1. 2017 na Wayback Machine.