Eisensteinovo číslo

Trojúhelníková mříž Eisensteinových celých čísel v komplexní rovině

V matematice se jako Eisensteinova čísla, pojmenovaná po Ferdinandu Eisensteinovi, označují komplexní čísla tvaru

${\displaystyle z=a+b\omega \,\!}$

kde a a b jsou celá čísla a

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}}$

je (komplexní) třetí odmocnina z jedné. Podobně jako Gaussova čísla tvoří čtvercovou mříž, tvoří Eisensteinova čísla trojúhelníkovou mříž. Jedná se o okruh celistvých čísel číselného tělesa ${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)}$.

Dělitelnost

Na Eisensteinových číslech lze zavést dělitelnost stejně jako na celých číslech: ${\displaystyle x}$ dělí ${\displaystyle y}$ právě tehdy, existuje-li Eisensteinovo číslo ${\displaystyle z}$ splňující ${\displaystyle y=zx}$. To umožňuje převést z celých čísel i koncept prvočíselnosti, a mluvit o Eisensteinových prvočíslech. Mezi Eisensteinovými čísly je celkem šest jednotek {±1, ±ω, ±ω²}, za Eisensteinova prvočíslo je tedy považováno každé takové Eisensteinovo číslo ${\displaystyle z}$, které lze dělit pouze pouze jednotkami a prvky ${\displaystyle uz}$, kde ${\displaystyle u}$ je nějaká z jednotek.

Eisensteinova čísla tvoří komutativní okruh. Ten je dokonce eukleidovský, za eukleidovskou funkci je možno zvolit

${\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Eisenstein integer na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Eisensteinovo číslo na Wikimedia Commons