Elementární funkce

Jako elementární funkce je označována funkce, kterou lze získat konečným počtem sečtení, odečtení, násobení, dělení a složení z exponenciální, logaritmické, konstantní, mocninné, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrické funkce. Funkce, které nelze vyjádřit prostřednictvím konečného počtu elementárních funkcí, se označují jako vyšší transcendentní funkce.

Jedná se tedy o algebraické funkce a dále o skupinu transcendentních funkcí, označovaných také jako nižší transcendentní funkce. Elementární jsou tedy ty funkce, se kterými se lidé obvykle seznamují v rámci středoškolské matematiky, a které si proto zvykli vnímat jako základní.

Jelikož goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrická funkce, stejně jako obecnou mocninu, lze v komplexním oboru vyjádřit pomocí exponenciály a logaritmu, tak se někdy v úvodní definici mluví jen o exponenciále, logaritmu a konstantě.

Příklady

Mezi elementární funkce řadíme například:

• ${\displaystyle {\frac {e^{\tan(x)}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+\ln ^{2}x}}\,\right),}$
• ${\displaystyle \,\ln(-x^{2}).}$

Příkladem funkce, která není elementární, je chybová funkce: ${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.}$

Vlastnosti

Z čistě matematického hlediska nemají žádný jednotný charakter. Ale přesto existují určité společné vlastnosti. Všechny elementární funkce jsou

• diferencovatelné na svém definičním oboru kromě případných izolovaných bodů.
• spojité, takže existují i primitivní funkce (jsou integrovatelné).

Příklad: Mějme funkci ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,~f(x)={\sqrt {\sin ^{2}(x)}}=\left|\sin(x)\right|}$. Tato funkce je diferencovatelná všude kromě bodů ${\displaystyle x=k\pi \,}$, kde ${\displaystyle k\,}$ je celé číslo. Primitivní funkce také zjevně existuje.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu elementární funkce na Wikimedia Commons
• Elementární funkce - studijní materiál VŠB