Eukleidova věta o výšce

Jako Eukleidovy věty se označují matematické věty o délkách odvěsen a výšky pravoúhlého trojúhelníku. Jsou pojmenované po svém objeviteli, řeckém matematiku Eukleidovi. Jsou to:

• Eukleidova věta o výšce: ${\textstyle v_{c}^{2}=c_{a}\cdot c_{b}}$
• Eukleidova věta o odvěsně (pro odvěsnu a): ${\textstyle a^{2}=c\cdot c_{a}}$
• Eukleidova věta o odvěsně (pro odvěsnu b): ${\textstyle b^{2}=c\cdot c_{b}}$

Pomocí Eukleidových vět je taky možné dokázat Pythagorovu větu a naopak pomocí Pythagorovy věty lze dokázat Eukleidovy věty.

Eukleidova věta o výšce

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony.

${\displaystyle v_{c}^{2}=c_{a}\cdot c_{b}}$

Důkaz s využitím podobnosti trojúhelníků

Označíme-li P patu kolmice z bodu C na přeponu AB (viz označení na obrázku), z podobnosti trojúhelníků APC a CPB plyne:

${\displaystyle {\frac {v_{c}}{c_{a}}}={\frac {c_{b}}{v_{c}}}}$

Obě strany rovnice vynásobíme číslem ${\displaystyle v_{c}\cdot c_{a}}$ a dostaneme Eukleidovu větu:

${\displaystyle v_{c}^{2}=c_{a}\cdot c_{b}}$

Důkaz z Pythagorovy věty

Z Pythagorovy věty plyne:

${\displaystyle v_{c}^{2}=b^{2}-c_{b}^{2}}$

${\displaystyle v_{c}^{2}=a^{2}-c_{a}^{2}}$

Rovnice sečteme:

${\displaystyle 2v_{c}^{2}=a^{2}+b^{2}-c_{a}^{2}-c_{b}^{2}}$

Upravíme první 2 členy podle Pythagorovy věty:

${\displaystyle 2v_{c}^{2}=c^{2}-c_{a}^{2}-c_{b}^{2}}$

Dosadíme ${\displaystyle c=c_{a}+c_{b}}$:

${\displaystyle 2v_{c}^{2}=(c_{a}+c_{b})^{2}-c_{a}^{2}-c_{b}^{2}}$

Roznásobíme, odečteme a vydělíme dvěma:

${\displaystyle 2v_{c}^{2}=c_{a}^{2}+2c_{a}c_{b}+c_{b}^{2}-c_{a}^{2}-c_{b}^{2}}$

${\displaystyle 2v_{c}^{2}=2c_{a}c_{b}}$

${\displaystyle v_{c}^{2}=c_{a}c_{b}}$

Důkaz pomocí obsahů

V pravoúhlém trojúhelníku ABC sestrojíme růžový čtverec nad výškou v a obdélník se stranami c_a a c_b. Doplníme obrázek do velkého pravoúhlého trojúhelníku. Velký trojúhelník je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu ${\displaystyle v^{2}}$je ve druhém rozkladu nahrazen obdélníkem o obsahu ${\displaystyle c_{a}\cdot c_{b}}$. Odtud růžové objekty musí mít stejný obsah.

Eukleidova věta o odvěsně

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

${\displaystyle a^{2}=c\cdot c_{a}}$

${\displaystyle b^{2}=c\cdot c_{b}}$

Důkaz s využitím podobnosti trojúhelníků

Z podobnosti trojúhelníků ACB a CPB plyne:

${\displaystyle {\frac {a}{c_{a}}}={\frac {c}{a}}}$

Obě strany rovnice vynásobíme ${\displaystyle a\cdot c_{a}}$ a dostaneme Eukleidovu větu:

${\displaystyle a^{2}=c\cdot c_{a}}$

Pro důkaz Euklidovy věty pro druhou odvěsnu bychom jen zaměnili body A a B, odvěsny a a b a části přepony c_a a c_b.

Důkaz z Pythagorovy věty

Vycházíme z toho, že platí Euklidova věta o výšce (důkaz viz výše). Z Pythagorovy věty plyne:

${\displaystyle a^{2}=v_{c}^{2}+c_{a}^{2}}$

${\displaystyle a^{2}=c_{a}c_{b}+c_{a}^{2}}$

${\displaystyle \ a^{2}=(c_{a}+c_{b})c_{a}}$

${\displaystyle \ a^{2}=cc_{a}}$

Pro druhou odvěsnu plyne z principu záměny (symetrie) odvěsen.

Tento důkaz nelze použít, pokud máme zároveň z Eukleidovy věty dokazovat Pythagorovu větu, protože se jednalo o důkaz kruhem. V takovém případě je nutné použít jiný důkaz Eukleidovy věty.

Důkaz pomocí obsahů

Pro zelený pravoúhlý trojúhelník ABC sestrojíme růžový čtverec nad odvěsnou b = AC a obdélník se stranami c a c_b. Doplníme obrázek šedými pomocnými trojúhelníky. Obsah velkého trojúhelníku je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu ${\displaystyle b^{2}}$je nahrazen obdélníkem o obsahu ${\displaystyle c\cdot c_{b}}$.

Délka výšky

Na základě znalosti Eukleidových vět a daných délek stran a a b lze vypočítat délku výšky:

${\displaystyle v^{2}={\frac {a^{2}\cdot b^{2}}{c^{2}}}={\frac {a^{2}\cdot b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}}$

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {a^{2}\cdot b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}}={\frac {a\cdot b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

Příklad

Mějme pravoúhlý trojúhelník se stranami ${\displaystyle a=5,\,c=8}$ (v libovolných, ale shodných jednotkách). Vypočítejte výšku ${\displaystyle v_{c}\,\!}$.

Platí:

${\displaystyle v_{c}^{2}=c_{a}\cdot c_{b}}$

${\displaystyle a^{2}=c\cdot c_{a}\,\!}$

Po dosazení do druhého vzorce:

${\displaystyle 25=8\cdot c_{a}\,\!}$

${\displaystyle c_{a}=25:8\,\!}$

${\displaystyle c_{a}=3{,}125\,\!}$

Dopočet ${\displaystyle c_{b}\,\!}$:

${\displaystyle c_{b}=c-c_{a}\,\!}$

${\displaystyle c_{b}=4{,}875\,\!}$

Po dosazení do prvního vzorce:

${\displaystyle v_{c}^{2}=c_{a}\cdot c_{b}}$

${\displaystyle v_{c}^{2}=3{,}125\cdot 4{,}875}$

${\displaystyle v_{c}^{2}\doteq 15{,}23}$

${\displaystyle v_{c}\doteq 3{,}9\,\!}$

Výška tohoto trojúhelníku je přibližně 3,9.

Odkazy

Související články

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Eukleidova věta o výšce na Wikimedia Commons

• Pythagorova věta