![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Euler%27s_formula.svg/300px-Euler%27s_formula.svg.png)
Eulerův vzorec pro libovolný úhel.
Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:
Na Eulerův vzorec je zvykem nahlížet jako na větu komplexní analýzy.
Význam vzorce
Eulerův vzorec umožňuje definovat mocnění komplexním číslem a protože exponenciální funkce je inverzní funkcí k logaritmu, umožňuje definovat i logaritmy komplexních čísel.
Důkaz
Taylorův rozvoj exponenciální funkce reálné proměnné je:
Její definiční obor lze holomorfním prodloužením rozšířit na obor komplexních čísel (x = a + ib, kde i je imaginární jednotka). Pro další odvození stačí uvažovat, že x je ryze imaginární číslo (x = ib); dosazením do Taylova rozvoje dostaneme:
Využijeme toho, že i2 = -1:
Přerovnáme členy a vytkneme imaginární jednotku i z členů, které ji obsahují:
Uzávorkované části jsou Taylorovy rozvoje funkcí kosinus a sinus reálné proměnné b:
čímž dostáváme Eulerův vzorec:
Vzorec platí i v obecnějším případě, kdy je číslo komplexní, protože sinus i kosinus lze pro komplexní argument napsat jako Taylorovy řady stejné jako v případě argumentu reálného.
Pro obecnou definici umocňování komplexním číslem použijeme vzorec :
Odkazy
Související články
Externí odkazy