Eulerova charakteristika

Eulerova charakteristika je v matematice celé číslo, které charakterizuje nějaký topologický prostor, geometrický útvar, graf, mnohostěn a podobně. Toto číslo je topologický a dokonce i homotopický invariant.

Definice

Historicky nejstarší definice Eulerovy charakteristiky nějakého mnohostěnu je výraz

Eulerova charakteristika ${\displaystyle \chi }$ je počet vrcholů minus počet hran plus počet stěn.

Pro konvexní mnohostěny v třírozměrném Euklidově prostoru je toto číslo vždy 2.

Obecně se definuje Eulerova charakteristika nějakého topologického prostoru X vztahem

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {rank} (H_{i}(X))}$

kde ${\displaystyle H_{i}(X)}$ je i-tá homologická grupa prostoru X.

Příklady

Sféra sudé dimenze má Eulerovu charakteristiku 2, sféra liché dimenze 0.

Torus a Kleinova láhev mají Eulerovu charakteristiku 0.

Reálná projektivní rovina má Eulerovu charakteristiku 1.