Eulerova konstanta

Eulerova konstanta nebo též Eulerova–Mascheroniho konstanta je matematická konstanta používaná v teorii čísel a v analýze. O této konstantě není známo, zda je racionální, či iracionální.^[1]

Eulerova konstanta je přibližně 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431 042 159 335 939 92 … .^[2]

Definice

Nejsnadněji lze tuto konstantu definovat jako následující limitu:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{n}}-\ln n\right)}$

Je obecně známo, že harmonická řada vyskytující se v limitě je řadou divergentní, má tedy nekonečný součet. To, že výše uvedená limita je vlastní, naznačuje skutečnost, že pro velká ${\displaystyle n}$ je možné částečný součet harmonické řady aproximovat až na Eulerovu konstantu přirozeným logaritmem.

Geometrická představa

Hodnotu konstanty ${\displaystyle \gamma }$ si lze představit i geometricky. U grafů funkci

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\lfloor x\rfloor }},}$

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{x}},}$

kde ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ značí (dolní) celou část čísla ${\displaystyle x}$, je obsah plochy mezi těmito dvěma grafy pro x od 1 do nekonečna právě roven Eulerově konstantě ${\displaystyle \gamma }$:

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}-{\frac {1}{x}}\right)dx.}$

Reference

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Eulerova konstanta na Wikimedia Commons
• Eulerova konstanta v encyklopedii MathWorld (anglicky)