Eulerova rovnost

Eulerova rovnost (také Eulerova identita) je základní vzorec komplexní analýzy. Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$) a fundamentálním významem připomíná Einsteinovu rovnici (E=mc²).

Znění

Eulerova rovnost je vzorec ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$, kde

• e je Eulerovo číslo
• i je imaginární jednotka
• π je Ludolfovo číslo

Elegantnost vyjádření

Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.

Odvození

Eulerova rovnost je speciálním případem Eulerova vzorce, který říká

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}$

pro každé reálné číslo x. Speciálně pro

${\displaystyle x=\pi ,\,\!}$

dostaneme

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!}$

Protože

${\displaystyle \cos \pi =-1\,\!}$

a

${\displaystyle \sin \pi =0,\,\!}$

vyplývá odtud

${\displaystyle e^{i\pi }=-1\,\!}$

a převedením na druhou stranu

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}$

Zobecnění

Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech n-tých odmocnin z jedné je nulový pro n > 1:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi ik/n}=0.}$

Eulerova rovnost vznikne dosazením n = 2.

Odkazy

Související články

• Komplexní analýza
• Eulerův vzorec
• Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Eulerova rovnost na Wikimedia Commons