Výstřednost kuželosečky

Výstřednost neboli excentricita kuželosečky je nezáporné reálné číslo, které charakterizuje tvar dané kuželosečky. Používá se například v astronomii pro charakterizaci drah těles ve vesmíru jakožto excentricita dráhy. Existuje několik různých druhů excentricit. Nejčastěji se používá číselná výstřednost (excentricita),^[1] také zvaná první excentricita nebo numerická excentricita. Lze si ji představit jako míru toho, jak moc se kuželosečka liší od kružnice. Konkrétně:

• Číselná excentricita kružnice je nulová.
• Číselná excentricita elipsy, která není kružnicí, je větší než nula, ale menší než 1.
• Číselná excentricita paraboly je 1.
• Číselná excentricita hyperboly je větší než 1.

Dvě kuželosečky jsou podobné právě tehdy, pokud mají stejnou číselnou výstřednost. Definice číselné výstřednosti vychází z toho, že libovolnou kuželosečku vyjma kružnice lze definovat jako množinu (geometrické místo) bodů roviny, jejichž vzdálenosti k dané přímce (řídící přímce) a mimo tuto přímku ležícími bodu (ohnisku) jsou v konstantním poměru. A tento poměr se nazývá číselná výstřednost a běžně označuje jako e nebo ε.

Dále se používá lineární výstřednost či excentricita elipsy nebo hyperboly, označovaná jako c (někdy také f nebo e ). Ta se definuje jako vzdálenost mezi jejím středem a ohniskem. Tuto excentricitu lze definovat jako poměr lineární excentricity k hlavní poloose a : tj. ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$ (lineární excentricita pro paraboly není definována, jelikož nemají střed).

U elipsy s délkou hlavní poloosy a a vedlejší poloosy b

Jestliže je kuželosečka zadána obecnou kvadratickou rovnicí

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

následující vzorec udává výstřednost e pokud kuželosečka není parabola (která má výstřednost rovnou 1), není degenerovaná hyperbola nebo degenerovaná elipsa a není imaginární elipsa:^[2]

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}}$

kde ${\displaystyle \eta =1}$, pokud je determinant matice 3 × 3

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}}$

negativní a ${\displaystyle \eta =-1}$, pokud je tento determinant pozitivní.

Excentricita elipsy je ostře menší než 1. Pokud se kružnice (které mají výstřednost 0) počítají mezi elipsy, je výstřednost elipsy větší nebo rovna 0; pokud kružnice vyloučíme, pak je výstřednost elipsy ostře větší než 0.

Pro elipsy s hlavní poloosou a a vedlejší poloosou b dále definujeme další typy výstředností:

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Eccentricity (mathematics) na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu excentricita na Wikimedia Commons