Extenzionální relace

Extenzionální relace je matematický pojem z oblasti teorie množin.

Definice

Nechť R je binární relace na třídě A. Dále označme ${\displaystyle R^{-1}[y]=\{x;\,xRy\}}$. Relace R se nazve extenzionální, splňuje-li: ${\displaystyle (\forall y,z\in A)(R^{-1}[y]=R^{-1}[z]\Rightarrow y=z)}$.

Příklady

• Relace ${\displaystyle \in }$ na univerzální třídě ${\displaystyle \mathbb {V} }$ je extenzionální díky axiomu extenzionality.
• Relace ${\displaystyle \,<}$ i ${\displaystyle \leq }$ na množině přirozených, celých, racionálních, reálných či ordinálních čísel jsou všechny extenzionální. Obecněji každé lineární uspořádání je extenzionální relace.
• Relace „x dělí y“ je extenzionální na množině přirozených čísel, přestože zde není lineárním uspořádáním. Na množině celých čísel tatáž relace extenzionální není - každá dvě čísla ${\displaystyle \,m,-m}$ mají stejné dělitele, ale nejsou si rovna.

Mostowského věta o kolapsu

Mostowského věta o kolapsu říká, že extenzionalita je jednou ze (tří) základních vlastností relace ${\displaystyle \in }$, které tuto relaci do jisté míry jednoznačně charakterizují. Zní takto:

Nechť R je relace úzká, extenzionální a fundovaná na třídě A. Pak existuje právě jedna tranzitivní třída T taková, že struktury ${\displaystyle \,\langle A;R\rangle }$ a ${\displaystyle \langle T;\in \rangle }$ jsou izomorfní (tj. existuje ${\displaystyle \phi :A\rightarrow T}$ bijekce, že ${\displaystyle \,xRy\Leftrightarrow \phi (x)\in \phi (y)}$).

Související články

• Úzká relace
• Fundovaná relace