Faktoralgebra

Koncept faktoralgebry je vyrobit z nosné množiny původní algebry hrubší objekt se stejnou strukturou. Formálně faktoralgebru tvoří vhodná ekvivalence ${\displaystyle \sim \,\!}$ na nosné množině algebry ${\displaystyle A\,\!}$, nosná množina faktoralgebry se pak bude skládat z bloků ekvivalence ${\displaystyle A/\sim \,\!}$.

Faktoralgebry odpovídají homomorfním obrazům algeber a jsou zobecněním faktorgrupy a faktorokruhu.

Definice

Nechť je ${\displaystyle A=(A,F)\,\!}$ algebra. Ekvivalence ${\displaystyle \sim \,\!}$ na ${\displaystyle A\,\!}$ se nazývá kongruence algebry pokud:

• Pro každou operaci ${\displaystyle F_{A}\,\!}$ a ${\displaystyle a_{1}\sim b_{1},...,a_{ar(F_{A})}\sim b_{ar(F_{A})}\,\!}$ platí ${\displaystyle F_{A}(a_{1},...,a_{ar(F_{A})})\sim F_{A}(b_{1},...,b_{ar(F_{A})})\,\!}$

Operace faktoralgebry ${\displaystyle B=(A/\sim ,G)\,\!}$ pak definujeme na blocích ekvivalence takto:

• Pro každé ${\displaystyle F_{A}\,\!}$ a ${\displaystyle a_{1},...,a_{ar(F_{A})}\in A\,\!}$ je ${\displaystyle G_{A}([a_{1}],...,[a_{ar(F_{A})}])\sim [F_{A}(a_{1},...,a_{ar(F_{A})})]\,\!}$

Jinak řečeno, prvky bloku ekvivalence jsou z hlediska operací zaměnitelné. Proto si také můžeme z každého bloku zvolit reprezentanta, tím dostaneme množinu reprezentantů, která je izomorfní nosné množině faktoralgebry.

Vlastnosti

• Faktoralgebra má stejnou signaturu jako původní algebra.
• Kongruence algebry je ekvivalence respektující strukturu algebry.
• Každá algebra ma alespoň dvě nevlastní faktoralgebry definovány kongruencemi:
  • ${\displaystyle id=\{(a,a):a\in A\}\,\!}$
  • ${\displaystyle A\times A=\{(a,b):a\in A\land b\in A\}\,\!}$

Tedy ekvivalencí rovnosti a ekvivalencí všech prvků algebry.

Příklady

Uvažujme relaci ${\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow x+y\mid 2\,\!}$ v grupě celých čísel ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,-,0)\,\!}$. Ta má zřejmě dva bloky ekvivalence a to sudá a lichá čísla. Nyní je třeba ověřit, že její operace splňují definici faktorgupy. Tedy že:

• pro operaci sčítání ${\displaystyle (+)\,\!}$: ${\displaystyle \forall a_{1}\sim b_{1},a_{2}\sim b_{2}\,\!}$ platí ${\displaystyle a_{1}+a_{2}\sim b_{1}+b_{2}\,\!}$
• pro operaci inverze ${\displaystyle (-)\,\!}$: ${\displaystyle \forall a\sim b\,\!}$ platí ${\displaystyle -a\sim -b\,\!}$
• konstantni prvek (operace arity 0) se zobrazí na konstantní prvek ${\displaystyle 0\sim 0\,\!}$ (je splněno vždy).

Což jde jednoduše ověřit. Například pro operaci sčítání máme čtyři možnosti ${\displaystyle a_{1}\sim b_{1}\,\!}$ je buď sudé, nebo liché a stejně tak ${\displaystyle a_{2}\sim b_{2}\,\!}$.

Nosnou množinu faktorgrupy reprezentovat například jako ${\displaystyle \{0,1\}\,\!}$, neboť ${\displaystyle 0\,\!}$ je reprezentantem sudých čísel a ${\displaystyle 1\,\!}$ je reprezentantem čísel lichých.

Mějme grupu permutací na ${\displaystyle n\,\!}$ prvcích ${\displaystyle S_{n}\,\!}$ a relaci ekvivalence ${\displaystyle \pi \sim \sigma \Leftrightarrow sgn(\pi )=sgn(\sigma )\,\!}$. Tedy dvě permutace jsou ekvivalentní, pokud mají stejné znaménko. Pak faktoralgebra bude izomorfní s faktoralgebrou v předchozím případě. (Stačí si uvědomit, že inverzní permutace má stejné znaménko, složení permutací má znaménko ${\displaystyle sgn(\pi )*sng(\sigma )\,\!}$ a nulovým prvkem, je identita.)

Věta o izomorfismu

Je-li ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow B\,\!}$ homomorfismus algeber, pak platí ${\displaystyle A/ker(\varphi )\simeq Im(\varphi )\,\!}$.

Tedy algebra určená rozkladem nosné množiny algebry ${\displaystyle A\,\!}$ podle jádra homomorfismu ${\displaystyle ker(\varphi )\,\!}$ je isomorfní s obrazem homomorfismu ${\displaystyle Im(\varphi )\,\!}$.

Myšlenka důkazu:

• Je li ${\displaystyle \varphi \,\!}$ homomorfismus ${\displaystyle A\rightarrow B\,\!}$ pak jádro zobrazení ${\displaystyle ker(\varphi )}$ je kongruence algebry ${\displaystyle A\,\!}$.
• Je li ${\displaystyle \varphi \,\!}$ homomorfismus ${\displaystyle A\rightarrow B\,\!}$ a ${\displaystyle \sim \,\!}$ kongruence na ${\displaystyle A\,\!}$ taková, že ${\displaystyle a\sim b\Rightarrow \varphi (a)=\varphi (b)\,\!}$, pak je zobrazení ${\displaystyle \psi :A/\sim \rightarrow B,[a]\rightarrow \varphi (a)\,\!}$ je homomorfismus.
• Pak ${\displaystyle A/\ker(\varphi )\rightarrow Im(\psi )=Im(\varphi )\,\!}$ je prostý a na a je tedy izomorfismem.

Každá kongruence na algebře ${\displaystyle \sim \,\!}$ je tedy jádrem vhodného homomorfismu, ten můžeme sestrojit jako zobrazení z ${\displaystyle \varphi :a\rightarrow [a]_{\sim }\,\!}$, tedy ${\displaystyle A\rightarrow A/\sim \simeq B\,\!}$.

Naopak každé jádro homomorfismu ${\displaystyle ker(\varphi )\,\!}$ je kongruence ${\displaystyle a\sim b\Leftrightarrow \varphi (a)=\varphi (b)\,\!}$.

Dále pak každá faktoralgebra odpovídá obrazu homomorfismu, tedy ${\displaystyle A/\sim \simeq Im(\varphi )\,\!}$ pro ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow B\simeq A/\sim \,\!}$.

A naopak projekce ${\displaystyle \psi :A\rightarrow A/\sim \,\!}$ je homomorfismem pro kongruenci na algebře ${\displaystyle \sim \,\!}$.

Příklad

V předchozím případě bychom mohli zvolit homomorfismus zobrazující sudá čísla na prvek ${\displaystyle 0}$ a lichá čísla na prvek ${\displaystyle 1}$, příslušné operace by byly zadefinovány takto:

• Operace ${\displaystyle (+)\,\!}$

• Operace ${\displaystyle (-)\,\!}$

-0 = 0, -1 = 1

• Operace ${\displaystyle 0\,\!}$

Konstanta 0 se zobrazí na 0.

Pak jádro homomorfismu bude relace ekvivalence rozdělená na blok sudých a blok lichých čísel a faktoralgebra podle jádra zobrazení bude izomorfní s algebrou určenou obrazem homomorfismu.

Literatura

• STANOVSKÝ, David. Praha: matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7. (čeština) 

Související články

• Kongruence
• Faktorgrupa
• Faktorokruh
• Varieta algeber