Faktorová grupa

Faktorová grupa neboli faktorgrupa nebo podílová grupa je v teorii grup grupa odvozená od dvou jiných grup způsobem, který zobecňuje dělení na grupy. V univerzální algebře je možné definovat faktorovou grupu jako grupu, která je faktoralgebrou jiné grupy.

Definice

Rozklady podle podgrupy

• Levým rozkladem grupy ${\displaystyle G\,\!}$ podle podgrupy ${\displaystyle H\,\!}$ je množina

kde množiny ${\displaystyle aH=\{a\cdot h:h\in H\}}$ se nazývají levé třídy rozkladu.

• Pravým rozkladem grupy ${\displaystyle G\,\!}$ podle podgrupy ${\displaystyle H\,\!}$ je množina

kde množiny ${\displaystyle Ha=\{h\cdot a:h\in H\}}$ pravé třídy rozkladu.

Normální podgrupa

Podgrupa ${\displaystyle H\,\!}$ grupy ${\displaystyle G\,\!}$ je normální, značíme ${\displaystyle H\triangleleft G\,\!}$, pokud pro všechny ${\displaystyle a\in G\,\!}$ platí ${\displaystyle aH=Ha\,\!}$.

Příklad

• Každá podgrupa abelovské grupy je normální.

Faktorgrupa

Jestliže ${\displaystyle H\,\!}$ je normální podgrupa grupy ${\displaystyle G\,\!}$ (symbolicky: ${\displaystyle H\triangleleft G}$), můžeme na množině levých rozkladových tříd zavést grupovou operaci

Pak množina levých rozkladových tříd s touto operací tvoří opět grupu, která se nazývá faktorová grupa ${\displaystyle G\,\!}$ podle normální podgrupy ${\displaystyle H\,\!}$ a značí se ${\displaystyle G/H\,\!}$.

Příklady

• Je-li ${\displaystyle G\,\!}$ libovolná grupa s násobením, pak ${\displaystyle G\,\!}$ a ${\displaystyle \{1\}\,\!}$ jsou její normální podgrupy. Pro příslušné faktorové grupy platí ${\displaystyle G/G\cong {1}}$ a ${\displaystyle G/{1}\cong G}$.
• Množina ${\displaystyle n\mathbb {Z} \,\!}$ všech násobků čísla ${\displaystyle n\,\!}$ je normální podgrupou aditivní grupy ${\displaystyle \mathbb {Z} \,\!}$, faktorová grupa ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \,\!}$ je isomorfní s grupou ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\,\!}$.

Hlavní věty o faktorových grupách

Nechť ${\displaystyle f:G\to H}$ je homomorfizmus grup. Pak jádro Ker(f) je normální podgrupa G a ${\displaystyle x\mapsto xKer(f)}$ definuje izomorfizmus grup

${\displaystyle Im(f)\simeq G/Ker(f).}$

Nechť ${\displaystyle N\triangleleft G}$. Pak ke každému homomorfismu ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow L}$ grup, pro který ${\displaystyle N\subseteq Ker\varphi }$, existuje jediný homomorfismus ${\displaystyle \varphi ':G/N\rightarrow L}$ takový, že ${\displaystyle \varphi =\varphi '\circ p}$ (kde ${\displaystyle p\,\!}$ je projekce ${\displaystyle G\,\!}$ na ${\displaystyle G/N\,\!}$).

Nechť N a H jsou normální podgrupy G a N je podgrupa H. Pak N je normální podgrupa H, H/N je normální podgrupa G/N a platí

${\displaystyle G/H\simeq (G/N)/(H/N).}$

Související články

• Faktoralgebra
• Faktorokruh
• Normální podgrupa

Literatura

STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha: Matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7. Kapitola Grupy. (čeština)