Faktoriál

V matematice je faktoriál čísla n (značeno pomocí vykřičníku: n!) číslo, rovné součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných n, pokud je n kladné, a rovno 1 pro n = 0. Značení n! vyslovujeme jako „n faktoriál“. Toto značení zavedl Christian Kramp v roce 1808. Faktoriál n je roven počtu permutací n-prvkové množiny

Definice

Faktoriál je formálně definován takto:

01
11
22
36
424
5120
6720
75 040
840 320
9362 880
103 628 800
151 307 674 368 000
202 432 902 008 176 640 000
2515 511 210 043 330 985 984 000 000
503,041 409 32…×1064
701,197 857 17…×10100
1009,3326215444×10157
1711,2410180702×10309
4501,733 368 73…×101 000
1 0004,0238726008×102,567
3 2496,412 337 68…×1010 000
25 2061,205 703 438…×10100 000
47 1768,448 573 149 5…×10200 001
100 0002,824 229 407 9…×10456 573
200 0001,420 225 345 47…×10973 350
205 0232.5038989317×101,000,004
300 0001,477 391 531 738…×101 512 851
1 000 0008,263 931 688 3…×105 565 708
1,0248383838×1098101,0000000000×10100
1×10100109,9565705518×10101
1,7976931349×10308105,5336665775×10310

Například:

Pro případ prázdného součinu platí, že

Rekurzivní výpočet

Je možné faktoriál definovat rekurzivně takto:

Zobecnění pro komplexní čísla

Zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel je gama funkce, používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve statistice:

Ačkoliv uvedený integrál konverguje pouze pro , lze zobecněný faktoriál holomorfně rozšířit na celou komplexní rovinu kromě celých záporných čísel (−1, −2, …).

Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná:[1]

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, …

Využití

Faktoriály se hojně vyskytují v kombinatorice. Faktoriál čísla n udává počet permutací množiny n prvků, tzn. počet způsobů, jak seřadit n různých objektů.

Pomocí faktoriálů lze také spočítat kombinační číslo:

Vlastnosti

Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká n lze vypočítat Stirlingovým vzorcem:

Dvojitý faktoriál, multifaktoriál

Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také dvojitý faktoriál, značený n!!, ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. Je možno ho rekurzivně definovat jako

Například , nebo .

Posloupnost dvojitých faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná:[2]

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, 46080, 135135, 645120, 2027025, …

I dvojitý faktoriál váže vztahy ke gama funkci, např.

Kromě dvojitého faktoriálu lze tuto ideu dále zobecnit na (již nepříliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atd. (obecně n!(k)).

Výpočet v informatice

Rekurzivní definice je často užívána i v programování, protože vede na jednoduchý zápis algoritmu využívající rekurzivní volání funkce. Takový výpočet však je z hlediska náročnosti na systémové prostředky (velikost zásobníku) velmi nevhodný (takový počítačový program lze použít jen pro malá čísla, protože obvykle dojde paměť pro zásobník). Proto je vhodnější místo rekurze použít cyklus.

Odkazy

Reference

Související články

Externí odkazy