Faktoriál

V matematice je faktoriál čísla n (značeno pomocí vykřičníku: n!) číslo, rovné součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných n, pokud je n kladné, a rovno 1 pro n = 0. Značení n! vyslovujeme jako „n faktoriál“. Toto značení zavedl Christian Kramp v roce 1808. Faktoriál n je roven počtu permutací n-prvkové množiny

Definice

Faktoriál je formálně definován takto:

${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \,\dotsb \,\cdot n=\prod _{k=1}^{n}k\qquad {\mbox{pro }}n>0}$

Například:

${\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}$

Pro případ prázdného součinu platí, že

${\displaystyle 0!=1}$

Rekurzivní výpočet

Je možné faktoriál definovat rekurzivně takto:

${\displaystyle (n+1)!=(n+1)\cdot n!\ }$

Zobecnění pro komplexní čísla

Zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel je gama funkce, používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve statistice:

${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt}$

Ačkoliv uvedený integrál konverguje pouze pro ${\displaystyle \operatorname {Re} \,z>-1}$, lze zobecněný faktoriál holomorfně rozšířit na celou komplexní rovinu kromě celých záporných čísel (−1, −2, …).

Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná:^[1]

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, …

Využití

Faktoriály se hojně vyskytují v kombinatorice. Faktoriál čísla n udává počet permutací množiny n prvků, tzn. počet způsobů, jak seřadit n různých objektů.

Pomocí faktoriálů lze také spočítat kombinační číslo:

${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$

Vlastnosti

Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká n lze vypočítat Stirlingovým vzorcem:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

Dvojitý faktoriál, multifaktoriál

Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také dvojitý faktoriál, značený n!!, ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. Je možno ho rekurzivně definovat jako

${\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{pro }}n=0{\mbox{ nebo }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{pro }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}$

Například ${\displaystyle 8!!=8\cdot 6\cdot 4\cdot 2=384}$, nebo ${\displaystyle 9!!=9\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 1=945}$.

Posloupnost dvojitých faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná:^[2]

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, 46080, 135135, 645120, 2027025, …

I dvojitý faktoriál váže vztahy ke gama funkci, např.

${\displaystyle \Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}{(2n-1)!! \over 2^{n}}}$

Kromě dvojitého faktoriálu lze tuto ideu dále zobecnit na (již nepříliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atd. (obecně n!^(k)).

Výpočet v informatice

Rekurzivní definice je často užívána i v programování, protože vede na jednoduchý zápis algoritmu využívající rekurzivní volání funkce. Takový výpočet však je z hlediska náročnosti na systémové prostředky (velikost zásobníku) velmi nevhodný (takový počítačový program lze použít jen pro malá čísla, protože obvykle dojde paměť pro zásobník). Proto je vhodnější místo rekurze použít cyklus.

Odkazy

Reference

Související články

• Taylorova řada

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Faktoriál na Wikimedia Commons
• Faktoriál v encyklopedii MathWorld
• Online výpočet faktoriálu až 40000! na všechna platná místa