Ortogonální projekce funkce f z Hilbertova prostoru do nadroviny konečné dimenze n. Fourierova řada slouží k aproximaci periodické funkce řadou harmonických funkcí sinus a kosinus . Základní myšlenka zápisu funkce ve formě uvedené řady spočívá v tzv. ortogonálním rozkladu funkce v lineárním prostoru funkcí po částech spojitých na intervalu ⟨ 0 , T ⟩ {\displaystyle \langle 0,T\rangle } spolu s definovaným skalárním součinem :
f ⋅ g = ∫ 0 T f ( t ) g ( t ) d t {\displaystyle f\cdot g=\int _{0}^{T}f(t)\ g(t)\ dt} ,tvořících tzv. Hilbertův prostor , kde T {\displaystyle T} je doba periody průběhu funkce.
Fourierova řada je pojmenována po francouzském fyzikovi a matematikovi Josephu Fourierovi .
Ortogonální rozklad funkce Mějme lineární podprostor ρ {\displaystyle \rho } dimenze n {\displaystyle n} Hilbertova prostoru nekonečné dimenze o ortonormální bázi E {\displaystyle E} :
ρ ⊂ H {\displaystyle \rho \subset H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} d i m H = ∞ {\displaystyle dimH=\infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} dim ρ = n {\displaystyle \dim \rho =n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} f ∈ H {\displaystyle f\in H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} f n ∈ ρ {\displaystyle f_{n}\in \rho \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} n = 1 , 2 , 3 , ⋯ {\displaystyle n=1,2,3,\cdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} E = e 1 , e 2 , e 3 , ⋯ {\displaystyle E=e_{1},e_{2},e_{3},\cdots }
pak pro Euklidovskou vzdálenost funkcí f {\displaystyle f} a f n {\displaystyle f_{n}} platí:
| f − f n | 2 = ( f − f n ) ⋅ ( f − f n ) = f ⋅ f − 2 f ⋅ f n + f n ⋅ f n = f ⋅ f − 2 f ⋅ ∑ i
s i e i + ∑ i
s i 2 = {\displaystyle \left|f-f_{n}\right|^{2}=\left(f-f_{n}\right)\cdot \left(f-f_{n}\right)=f\cdot f-2f\cdot f_{n}+f_{n}\cdot f_{n}=f\cdot f-2f\cdot \sum _{i}^{}{s_{i}e_{i}}+\sum _{i}^{}s_{i}^{2}=}
= f ⋅ f + ∑ i
( f ⋅ e i ) 2 − 2 ∑ i
s i ( f ⋅ e i ) + ∑ i
s i 2 − ∑ i
( f ⋅ e i ) 2 = f ⋅ f + ∑ i
( ( f ⋅ e i ) − s i ) 2 − ∑ i
( f ⋅ e i ) 2 {\displaystyle =f\cdot f+\sum _{i}^{}\left({f\cdot e}_{i}\right)^{2}-2\sum _{i}^{}{s_{i}\left(f\cdot e_{i}\right)}+\sum _{i}^{}s_{i}^{2}-\sum _{i}^{}\left({f\cdot e}_{i}\right)^{2}=f\cdot f+\sum _{i}^{}\left(\left(f\cdot e_{i}\right)-s_{i}\right)^{2}-\sum _{i}^{}\left({f\cdot e}_{i}\right)^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} kde i = 1 , ⋯ , n {\displaystyle i=1,\cdots ,n}
a
s i = f ⋅ e i ⇒ | f − f n | 2 = f ⋅ f − ∑ i
( f ⋅ e i ) 2 = | f | 2 − | f n | 2 ⇒ | f | 2 ≥ | f n | 2 ⇒ f ∼ f n {\displaystyle s_{i}=f\cdot e_{i}\Rightarrow \left|f-f_{n}\right|^{2}=f\cdot f-\sum _{i}^{}\left({f\cdot e}_{i}\right)^{2}=\left|f\right|^{2}-\left|f_{n}\right|^{2}\Rightarrow \left|f\right|^{2}\geq \left|f_{n}\right|^{2}\Rightarrow f\sim f_{n}}
kde s 1 , ⋯ , s n {\displaystyle s_{1},\cdots ,s_{n}} jsou souřadnice f n {\displaystyle f_{n}} vzhledem k E {\displaystyle E} , pak můžeme aproximovat funkci f {\displaystyle f} následující řadou:
lim n → ∞ | f − f n | 2 = 0 ⇒ | f | 2 ≈ | f n | 2 ⇒ f ≈ f n = ∑ i
( f ⋅ e i ) e i {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|f-f_{n}\right|^{2}=0\Rightarrow \left|f\right|^{2}\approx \left|f_{n}\right|^{2}\Rightarrow f\approx f_{n}=\sum _{i}^{}{\left(f\cdot e_{i}\right)\ e_{i}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} kde i = 1 , ⋯ , n {\displaystyle i=1,\cdots ,n}
Fourierova řada v goniometrickém tvaru Množina { 1 T , 2 T cos ω t , 2 T sin ω t , 2 T cos 2 ω t , 2 T sin 2 ω t , 2 T cos 3 ω t , 2 T sin 3 ω t , ⋯ } {\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {T}}},{{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {T}}}\cos }\omega t,{{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {T}}}\sin }\omega t,{{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {T}}}\cos }{2\omega t},{{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {T}}}\sin }{2\omega t},{{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {T}}}\cos }{3\omega t},{{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {T}}}\sin }{3\omega t},\cdots \right\}} tvoří ortonormální bázi výše uvedeného Hilbertova prostoru nekonečné dimenze, pak funkci f {\displaystyle f} můžeme aproximovat pomocí následující goniometrické řady:
f ( t ) ≈ ∑ 0 ∞ a n cos n ω t + b n sin n ω t {\displaystyle f\left(t\right)\approx \sum _{0}^{\infty }{a_{n}\cos n\omega t+b_{n}\sin n\omega t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} n ∈ N {\displaystyle n\mathbb {\in N} } kde a 0 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t {\displaystyle a_{0}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)\,dt}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) cos n ω t d t {\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)\cos n\omega t\,\,dt}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) sin n ω t d t {\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)\sin n\omega t\,\,dt}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} pro n = 1 , 2 , 3 , ⋯ {\displaystyle n=1,2,3,\cdots } .
Koeficient b 0 {\displaystyle b_{0}} nemá smysl uvažovat, neboť b 0 sin 0 = 0 {\displaystyle b_{0}\sin 0=0} .
Pokud se dvě integrovatelné funkce liší v konečném počtu bodů, tak je jasné, že mají stejnou Fourierovu řadu. Z toho důvodu nepíšeme mezi funkcí f {\displaystyle f} a její Fourierovou řadou rovnítko. Pokud je však funkce vybrána z obecnější množiny než jen z množiny integrovatelných funkcí, tak se jí Fourierova řada může rovnat. Například platí následující tvrzení: pokud je funkce f {\displaystyle f} ohraničená a po částech spojitá a má i ohraničenou po částech spojitou první derivaci , tak její Fourierova řada má v každém bodě součet, a ten je roven aritmetickému průměru pravé a levé limity této funkce v tomto bodě. Tedy v bodě spojitosti je to hodnota funkce. Fourierova řada spojité funkce nemusí (v některém bodě) vůbec konvergovat.
V praxi se funkce f {\displaystyle f} aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen několik prvních členů, čímž se genericky s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.
Příklad Exponenciála Sudá a lichá funkce Mějme exponenciálu zúženě definovanou na intervalu < 0 , 1 > {\displaystyle <0,1>} a vytvořme z ní sudou a lichou periodickou funkci s periodou T = 2 {\displaystyle T=2} na intervalu < − 1 , 1 > {\displaystyle <-1,1>} a úhlovou frekvencí ω = π {\displaystyle \omega =\pi } , pak můžeme uvedenou sudou a lichou funkci aproximovat následujícími řadami:
sudá funkce :
a 0 = 1 2 ( ∫ − 1 0 e − t d t + ∫ 0 1 e t d t ) = e − 1 {\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}(\int _{-1}^{0}{e^{-t}\,dt}+\int _{0}^{1}{e^{t}\,dt})=e-1}
a n = ∫ − 1 0 e − t cos n π t d t + ∫ 0 1 e t cos n π t d t = 2 ( − 1 ) n e − 1 ( n π ) 2 + 1 {\displaystyle a_{n}=\int _{-1}^{0}{e^{-t}\cos n\pi t\,\,dt}+\int _{0}^{1}{e^{t}\cos n\pi t\,\,dt}=2{\frac {(-1)^{n}e-1}{(n\pi )^{2}+1}}}
b n = 0 {\displaystyle b_{n}=0}
kde n = 1 , 2 , 3 , ⋯ {\displaystyle n=1,2,3,\cdots }
f ( t ) ≈ ( e − 1 ) + 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n e − 1 ( n π ) 2 + 1 cos n π t {\displaystyle f\left(t\right)\approx (e-1)+2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(-1)^{n}e-1}{(n\pi )^{2}+1}}\cos n\pi t}} lichá funkce :
a 0 = 0 {\displaystyle a_{0}=0}
a n = 0 {\displaystyle a_{n}=0}
b n = − ∫ − 1 0 e − t sin n π t d t + ∫ 0 1 e t sin n π t d t = − 2 n π ( − 1 ) n e − 1 ( n π ) 2 + 1 {\displaystyle b_{n}=-\int _{-1}^{0}{e^{-t}\sin n\pi t\,\,dt}+\int _{0}^{1}{e^{t}\sin n\pi t\,\,dt}=-2n\pi {\frac {(-1)^{n}e-1}{(n\pi )^{2}+1}}}
kde n = 1 , 2 , 3 , ⋯ {\displaystyle n=1,2,3,\cdots }
f ( t ) ≈ − 2 ∑ n = 1 ∞ n π ( − 1 ) n e − 1 ( n π ) 2 + 1 sin n π t {\displaystyle f\left(t\right)\approx -2\sum _{n=1}^{\infty }{n\pi {\frac {(-1)^{n}e-1}{(n\pi )^{2}+1}}\sin n\pi t}} Poznamenejme, že Fourierova řada sudé resp. liché funkce obsahuje pouze členy s funkcí cosinus resp. sinus.
Fourierova řada v exponenciálním tvaru Z následujících vztahů:
e i n ω t + e − i n ω t = ( cos n ω t + i sin n ω t ) + ( cos n ω t − i sin n ω t ) = 2 cos n ω t {\displaystyle e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}=\left(\cos n\omega t+i\sin n\omega t\right)+\left(\cos n\omega t-i\sin n\omega t\right)=2\cos n\omega t}
e i n ω t − e − i n ω t = ( cos n ω t + i sin n ω t ) − ( cos n ω t − i sin n ω t ) = i 2 sin n ω t {\displaystyle e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}=\left(\cos n\omega t+i\sin n\omega t\right)-\left(\cos n\omega t-i\sin n\omega t\right)=i2\sin n\omega t}
a
a n cos n ω t + b n sin n ω t = a n 2 ( e i n ω t + e − i n ω t ) − i b n 2 ( e i n ω t − e − i n ω t ) = {\displaystyle a_{n}\cos n\omega t+b_{n}\sin n\omega t={\frac {a_{n}}{2}}\left(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}\right)-i{\frac {b_{n}}{2}}\left(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}\right)=}
= 1 2 ( a n − i b n ) e i n ω t + 1 2 ( a n + i b n ) e − i n ω t = ( c n e i n ω t + c ¯ n e − i n ω t ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(a_{n}-ib_{n}\right)e^{in\omega t}+{\frac {1}{2}}\left(a_{n}+ib_{n}\right)e^{-in\omega t}=\left({c_{n}e}^{in\omega t}+{\overline {c}}_{n}e^{-in\omega t}\right)}
dostaneme:
2 c n = ( a n − i b n ) = 2 T ∫ 0 T f ( t ) ( cos n ω t − i sin n ω t ) d t ⇒ c n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t {\displaystyle 2c_{n}=\left(a_{n}-ib_{n}\right)={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)\left(\cos n\omega t-i\sin n\omega t\right)dt}\Rightarrow c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)\ e^{-in\omega t}dt}}
2 c ¯ n = ( a n + i b n ) = 2 T ∫ 0 T f ( t ) ( cos n ω t + i sin n ω t ) d t ⇒ c ¯ n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e i n ω t d t {\displaystyle 2{\overline {c}}_{n}=\left(a_{n}+ib_{n}\right)={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)\left(\cos n\omega t+i\sin n\omega t\right)dt}\Rightarrow {\overline {c}}_{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)\ e^{in\omega t}dt}} ,
takže potom můžeme vyjádřit aproximaci funkce f {\displaystyle f} pomocí následující exponenciální řady:
f ( t ) ≈ ∑ − ∞ ∞ c n e i n ω t {\displaystyle f\left(t\right)\approx \sum _{-\infty }^{\infty }c_{n}e^{in\omega t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} n ∈ Z {\displaystyle n\mathbb {\in Z} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} kde a 0 = c 0 = f ¯ {\displaystyle a_{0}=c_{0}={\overline {f}}} je střední hodnota funkce f {\displaystyle f} .Parsevalova rovnost Nechť
f ( t ) ≈ ∑ 0 ∞ a n cos n ω t + b n sin n ω t = ∑ − ∞ ∞ c n e i n ω t {\displaystyle f\left(t\right)\approx \sum _{0}^{\infty }{a_{n}\cos n\omega t+b_{n}\sin n\omega t}=\sum _{-\infty }^{\infty }c_{n}e^{in\omega t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} n ∈ Z {\displaystyle n\mathbb {\in Z} } .Pak platí následující Parsevalova rovnost , vyjadřující, že efektivní hodnota aproximované funkce (střední hodnota jejího čtverce) je rovna sumě kvadrátů koeficientů aproximující Fourierovy řady:
1 T ∫ 0 T f 2 ( t ) d t = ∑ n = 0 ∞ ( a n 2 + b n 2 ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n 2 {\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f^{2}(t)\,\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}^{2}} .Jméno tomuto tvrzení dal francouzský matematik Marc-Antoine Parseval . Pokud levou stranu rovnice interpretujeme jako čtverec normy funkce f {\displaystyle f} , lze Parsevalovu rovnost číst jako zobecnění Pythagorovy věty na nekonečněrozměrný prostor funkcí.
Fourierova transformace Ze vztahu doby periody blížící se nekonečnu a úhlové frekvence sítě:
T ω = 2 π ⇒ ( T → ∞ ⇒ ω → 0 ) ⇒ n ω ≡ ω ≡ d ω {\displaystyle T\omega =2\pi \Rightarrow \left(T\rightarrow \infty \Rightarrow \omega \rightarrow 0\right)\Rightarrow n\omega \equiv \omega \equiv d\omega } lze zavést užitím limitních přechodů spojitou Fourierovu transformaci:
lim T → ∞ T c n = lim T → ∞ ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − i n ω t d t = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t = F ( ω ) {\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty }{Tc_{n}}=\lim _{T\rightarrow \infty }{\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}{f\left(t\right)e^{-in\omega t}dt}}=\int _{-\infty }^{\infty }{f\left(t\right)\ e^{-i\omega t}dt}=F\left(\omega \right)} a naopak inverzní spojitou Fourierovu transformaci:
f ( t ) = lim T → ∞ ∑ − ∞ ∞ T ω 2 π c n e i n ω t = 1 2 π ∑ − ∞ ∞ lim T → ∞ T c n e i n ω t ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i n ω t dω {\displaystyle f\left(t\right)=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sum _{-\infty }^{\infty }{T{\frac {\omega }{2\pi }}c_{n}e^{in\omega t}}}={\frac {1}{2\pi }}\sum _{-\infty }^{\infty }{\lim _{T\rightarrow \infty }{Tc_{n}e^{in\omega t}\omega }}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{F\left(\omega \right)\ e^{in\omega t}{\text{dω}}}} Odkazy Literatura BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce . 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9 .
Související články Externí odkazy