Fourierova řada

Ortogonální projekce funkce f z Hilbertova prostoru do nadroviny konečné dimenze n.

Fourierova řada slouží k aproximaci periodické funkce řadou harmonických funkcí sinus a kosinus. Základní myšlenka zápisu funkce ve formě uvedené řady spočívá v tzv. ortogonálním rozkladu funkce v lineárním prostoru funkcí po částech spojitých na intervalu spolu s definovaným skalárním součinem:

,

tvořících tzv. Hilbertův prostor, kde je doba periody průběhu funkce.

Fourierova řada je pojmenována po francouzském fyzikovi a matematikovi Josephu Fourierovi.

Ortogonální rozklad funkce

Mějme lineární podprostor dimenze Hilbertova prostoru nekonečné dimenze o ortonormální bázi :

pak pro Euklidovskou vzdálenost funkcí a platí:

kde

a

kde jsou souřadnice vzhledem k , pak můžeme aproximovat funkci následující řadou:

kde

Fourierova řada v goniometrickém tvaru

Množina tvoří ortonormální bázi výše uvedeného Hilbertova prostoru nekonečné dimenze, pak funkci můžeme aproximovat pomocí následující goniometrické řady:

kde pro .

Koeficient nemá smysl uvažovat, neboť .

Pokud se dvě integrovatelné funkce liší v konečném počtu bodů, tak je jasné, že mají stejnou Fourierovu řadu. Z toho důvodu nepíšeme mezi funkcí a její Fourierovou řadou rovnítko. Pokud je však funkce vybrána z obecnější množiny než jen z množiny integrovatelných funkcí, tak se jí Fourierova řada může rovnat. Například platí následující tvrzení: pokud je funkce ohraničená a po částech spojitá a má i ohraničenou po částech spojitou první derivaci, tak její Fourierova řada má v každém bodě součet, a ten je roven aritmetickému průměru pravé a levé limity této funkce v tomto bodě. Tedy v bodě spojitosti je to hodnota funkce. Fourierova řada spojité funkce nemusí (v některém bodě) vůbec konvergovat.

V praxi se funkce aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen několik prvních členů, čímž se genericky s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.

Příklad

Exponenciála
Sudá a lichá funkce

Mějme exponenciálu zúženě definovanou na intervalu a vytvořme z ní sudou a lichou periodickou funkci s periodou na intervalu a úhlovou frekvencí , pak můžeme uvedenou sudou a lichou funkci aproximovat následujícími řadami:

sudá funkce:

kde

lichá funkce:

kde

Poznamenejme, že Fourierova řada sudé resp. liché funkce obsahuje pouze členy s funkcí cosinus resp. sinus.

Fourierova řada v exponenciálním tvaru

Z následujících vztahů:


a

dostaneme:

,

takže potom můžeme vyjádřit aproximaci funkce pomocí následující exponenciální řady:

kde je střední hodnota funkce .

Parsevalova rovnost

Nechť

.

Pak platí následující Parsevalova rovnost, vyjadřující, že efektivní hodnota aproximované funkce (střední hodnota jejího čtverce) je rovna sumě kvadrátů koeficientů aproximující Fourierovy řady:

.

Jméno tomuto tvrzení dal francouzský matematik Marc-Antoine Parseval. Pokud levou stranu rovnice interpretujeme jako čtverec normy funkce , lze Parsevalovu rovnost číst jako zobecnění Pythagorovy věty na nekonečněrozměrný prostor funkcí.

Fourierova transformace

Ze vztahu doby periody blížící se nekonečnu a úhlové frekvence sítě:

lze zavést užitím limitních přechodů spojitou Fourierovu transformaci:

a naopak inverzní spojitou Fourierovu transformaci:

Odkazy

Literatura

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Sudá lichá funkce.png
Autor: Miloš Křivan, Licence: CC BY-SA 4.0
Sudá lichá funkce
Ortogonální projekce.png
Autor: Miloš Křivan, Licence: CC BY-SA 4.0
Ortogonální projekce
Exponenciála.png
Autor: Miloš Křivan, Licence: CC BY-SA 4.0
Exponenciála