Fundovaná relace

Fundovaná relace je matematický pojem z oboru teorie množin, který popisuje druh relace podobný dobrému uspořádání.

Definice

Relace R je fundovaná na třídě A, jestliže každá její neprázdná podmnožina ${\displaystyle \emptyset \neq B\subseteq A\,\!}$ má R-minimální prvek označovaný symbolem ${\displaystyle min_{R}(B)\,\!}$ .
Prvek ${\displaystyle x=min_{R}(B)\,\!}$ označíme za R-minimální prvek množiny B, pokud platí
${\displaystyle x\in B\land (\forall y\in B)\neg ([y,x]\in R)\,\!}$

Vysvětlení a vlastnosti pojmu

R-minimální prvek je takový prvek nějaké podmnožiny B, pro který neexistuje žádný menší (ve smyslu relace R) v této podmnožině. Důvod, proč nemluvíme rovnou o minimálním prvku je ten, že nikde není řečeno, že fundovaná relace R je uspořádání – což ostatně opravdu nemusí být pravda.

Fundovaná relace totiž opravdu nemusí být uspořádání, i když na první pohled trochu připomíná ostré uspořádání. Problém je v tom, že fundovaná relace nemusí být (na rozdíl od uspořádání) tranzitivní.

Příklad: Na tříprvkové množině ${\displaystyle \{1,2,3\}\,\!}$ definujme relaci ${\displaystyle R=\{[1,2],[2,3]\}\,\!}$. Snadno se dá ověřit, že taková relace je fundovaná, ale není tranzitivní – to by totiž musela obsahovat i uspořádanou dvojici ${\displaystyle [1,3]\,\!}$.

Fundovaná relace nesmí obsahovat žádný konečný cyklus (v tom se podobá ostrému uspořádání).
Kdybychom v předchozím příkladě přidali dvojici ${\displaystyle [3,1]\,\!}$, vznikla by relace ${\displaystyle R=\{[1,2],[2,3],[3,1]\}\,\!}$, která již není fundovaná – množina ${\displaystyle \{1,2,3\}\,\!}$ nemá v tomto případě žádný R-minimální prvek.

Fundovaná relace nesmí obsahovat žádnou nekonečnou klesající posloupnost (v tom se podobá dobrému uspořádání).
Pokud najdu posloupnost prvků ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots \,\!}$ takových že pro každé i je ${\displaystyle [a_{i+1},a_{i}]\in R\,\!}$, pak množina ${\displaystyle \{a_{0},a_{1},a_{2},\ldots \}\,\!}$ nemá žádný R-minimální prvek.

Konečný cyklus je zvláštní případ, vedoucí na nekonečnou klesající posloupnost - pokud se vrátím k předchozímu příkladu s relací ${\displaystyle R=\{[1,2],[2,3],[3,1]\}}$, můžu sestrojit nekonečnou klesající posloupnost ${\displaystyle \{3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,\ldots \}}$.

Z axiomu výběru se dá ukázat, že relace R je fundovaná tehdy a jen tehdy, když neobsahuje nekonečnou klesající posloupnost.

Význam pojmu

Axiom fundovanosti

Motivace k zavedení pojmu a jeho význam vyplývá z axiomu fundovanosti.

Tento axiom lze v ekvivalentní podobě zapsat jako ${\displaystyle \mathbb {WF} =\mathbb {V} \,\!}$, kde ${\displaystyle \mathbb {WF} \,\!}$ je fundované jádro a ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$ univerzální třída, tj. třída všech množin.

Podstatou důkazu výše uvedené ekvivalence, je věta, podle které je ${\displaystyle \mathbb {WF} \,\!}$ největší tranzitivní třída, na které je relace ${\displaystyle \in \,\!}$ fundovaná.

Transfinitní indukce a rekurze

Na každé třídě s fundovanou relací takovou, že levým obrazem každého prvku je množina (a ne vlastní třída), se dá provádět fundovaná indukce a fundovaná rekurze, jejichž speciálním případem je transfinitní indukce a transfinitní rekurze přes fundovanou operaci náležení na ordinálních číslech; ještě speciálnějšími případy jsou matematická indukce a rekurze přes přirozená čísla.

Související články

• Axiom fundovanosti
• Axiom výběru
• Fundované jádro
• Dobré uspořádání
• Mostowského kolaps