Funkce signum

(c) I, Cronholm144, CC BY-SA 3.0

Funkce signum (neboli znaménková funkce, zkratka sgn) je matematická funkce reálné nebo komplexní proměnné, která číslu přiřazuje komplexní jednotku vyjadřující orientovaný směr od obrazu nuly k obrazu tohoto čísla.

Reálné signum

Reálné signum je definováno následujícím způsobem:

${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}}}$

Libovolné číslo lze tedy vyjádřit jako součin znaménka a absolutní hodnoty:

${\displaystyle x=\operatorname {sgn}(x)\cdot |x|\,}$

Komplexní signum

Funkce signum může být zobecněna na komplexní čísla tak, že

${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}$

pro každé z ∈ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ kromě z = 0. Signum daného komplexního čísla z je bod na jednotkové kružnici v komplexní rovině se středem v počátku [0,0], který je nejblíže z.

Další zobecnění funkce signum na reálné a komplexní výrazy je funkce csgn, definovaná takto:

${\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1,&\Re (z)>0\vee (\Re (z)=0\land \Im (z)>0)\\-1,&\Re (z)<0\vee (\Re (z)=0\land \Im (z)<0)\\0,&\Re (z)=\Im (z)=0\end{cases}}}$

Potom (kromě z = 0):

${\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}}$

Vlastnosti

• Znaménková funkce je lichá.
• Znaménková funkce reálné proměnné je spojitá ve všech bodech kromě počátku.
• Primitivní funkce k funkci signum je absolutní hodnota, ale derivací absolutní hodnoty není signum (v bodě nula není derivace definována).

Související články

• Heavisideova funkce
• Znaménko permutace
• Levi-Civitův symbol

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Funkce signum na Wikimedia Commons