Galileiho transformace

(c) Vitecek, CC BY-SA 3.0

Galileiho transformace jsou transformační rovnice umožňující pomocí souřadnic x, y, z, t nějaké události U v inerciální vztažné soustavě S vyjádřit souřadnice x' , y' , z' , t' téže události v jiné inerciální vztažné soustavě S' , která se vzhledem k původní soustavě S pohybuje konstantní rychlostí v.

Matematické vyjádření

Pro pohyb ve směru rovnoběžném s osou x platí:

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=t\\x'&=x-vt\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

Pro čas platí ${\displaystyle t=0}$ ve chvíli, kdy počátky inerciálních vztažných soustav splývají. Tato transformace tedy považuje čas za neměnný a mění pouze prostorové souřadnice.

Inverzní transformace

K vyjádření události v soustavě S' prostřednictvím souřadného systému soustavy S můžeme použít tzv. inverzní Galileiho transformaci.

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=t'\\x&=x'+vt\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}}$

Transformace rychlosti

Předpokládejme, že v soustavě S se pohybuje hmotný bod rychlostí ${\displaystyle \mathbf {v} }$, jejíž složky jsou ${\displaystyle v_{x}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}$, ${\displaystyle v_{y}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}}$ a ${\displaystyle v_{z}={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}}$. Složky rychlosti ${\displaystyle \mathbf {v} }$ soustavě S' získáme derivací vztahů pro Galileiho transformaci, tzn.

${\displaystyle v_{x}^{\prime }={\frac {\mathrm {d} x^{\prime }}{\mathrm {d} t}}=v_{x}-v}$

${\displaystyle v_{y}^{\prime }={\frac {\mathrm {d} y^{\prime }}{\mathrm {d} t}}=v_{y}}$

${\displaystyle v_{z}^{\prime }={\frac {\mathrm {d} z^{\prime }}{\mathrm {d} t}}=v_{z}}$

To odpovídá vztahu pro skládání rychlostí z klasické mechaniky.

Vlastnosti

Galileiho transformace sice odpovídá našim zkušenostem, narušuje však postuláty (speciální) teorie relativity. Ukazuje se např., že vztahy popisující elektrické a magnetické jevy mají při použití Galileiho transformace v obou soustavách zcela rozdílné tvary, což odporuje prvnímu postulátu. I druhý postulát je porušen, neboť dostaneme-li při měření rychlosti světla podél osy x v soustavě S hodnotu ${\displaystyle c}$, bude podle výrazu pro transformaci rychlosti v soustavě S' rychlost světla ${\displaystyle c^{\prime }=c-v\neq c}$.

Galileiho transformace je přijatelná pouze pro malé rychlosti ve srovnání s rychlostí světla, tzn. ${\displaystyle v\ll c}$. Pro velké rychlosti je však nutno použít Lorentzovu transformaci. Platnost Galileiho transformace se tedy omezuje na klasickou mechaniku, zatímco v teorii relativity se používá Lorentzova transformace.

Galileiho transformace však svůj význam neztratila, neboť člověk se ve svém okolí běžně setkává spíše s rychlostmi malými, a pro běžnou potřebu (např. technické praxe) je Galileiho transformace postačující.

Související články

• Relativita pohybu
• Klasická mechanika
• Teorie relativity

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Galileiho transformace na Wikimedia Commons

Literatura

• Galileo 1638 Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze 191 - 196, vydavatel Lowys Elzevir (Louis Elsevier), Leiden