Galoisova korespondence

Galoisova korespondence je pojem z obecné algebry a teorie množin a obvykle označuje zobrazení mezi dvěma částečně uspořádanými množinami splňující určité požadavky. Pojem Galoisova korespondence zobecňuje korespondenci mezi podgrupami a podtělesy v Galoisově teorii (pojmenované po francouzském matematikovi Évaristu Galoisovi).

Definice

Ať X a Y jsou množiny. Ať ${\displaystyle {\mathcal {A}}:{\mathcal {P}}(X)\longrightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$ a ${\displaystyle {\mathcal {B}}:{\mathcal {P}}(Y)\longrightarrow {\mathcal {P}}(X)}$. Pak ${\displaystyle ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})}$ nazveme Galoisovou koresponencí, platí-li:

• ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\in {\mathcal {P}}(X)\Rightarrow {\mathcal {A}}(A_{1})\supseteq {\mathcal {A}}(A_{2}),}$
• ${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\in {\mathcal {P}}(Y)\Rightarrow {\mathcal {B}}(B_{1})\supseteq {\mathcal {B}}(B_{2}),}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {A}}(A)\supseteq A}$ pro ${\displaystyle \forall A\in X,}$
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}{\mathcal {B}}(B)\supseteq B}$ pro ${\displaystyle \forall B\in Y.}$

Někdy se definuje Galoisova korespondence alternativně následujícím způsobem:

Buď ${\displaystyle \phi \subseteq X\times Y}$. Definujeme zobrazení ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)\longrightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$ takto:

• ${\displaystyle A\longmapsto A^{\rightarrow }=\lbrace b\in Y|(a,b)\in \phi ,\forall a\in A\rbrace }$
• ${\displaystyle B\longmapsto B^{\leftarrow }=\lbrace a\in Y|(a,b)\in \phi ,\forall b\in B\rbrace }$.

Podotýkáme, že v anglické literatuře je pojem Galoisova korespondence^[ujasnit] vymezen pro pár vzájemně bijektivních zobrazení, zatímco Galoisově korespondenci v širším smyslu odpovídá pojem Galois connection.

Vlastnosti

Je-li ${\displaystyle ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})}$ Galoisova korespondence množin X a Y, pak platí:

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}{\mathcal {B}}{\mathcal {A}}(A)={\mathcal {A}}(A)}$ pro ${\displaystyle \forall A\in X,}$ a symetricky ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {A}}{\mathcal {B}}(B)={\mathcal {B}}(B)}$ pro ${\displaystyle \forall B\in Y.}$
• Složená zobrazení ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {A}}}$ a ${\displaystyle {\mathcal {A}}{\mathcal {B}}}$ jsou uzávěrovými operátory na X a Y.
• Galoisova korespondence poskytuje vzájemně inverzní bijekce ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ a ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ množin ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\lbrace {\mathcal {A}}(A)|A\in X\rbrace }$ a ${\displaystyle {\mathcal {Y}}=\lbrace {\mathcal {B}}(B)|B\in Y\rbrace }$.

Příklady

Algebraická geometrie

Korespondence ${\displaystyle (\mathbb {I} ,\mathbb {V} )}$ mezi algebraickými množinami, tj. podmnožinami ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}=K\times K\times ...\times K,}$ kde ${\displaystyle K}$ je těleso, a ideály okruhu polynomů ${\displaystyle K[x_{1},x_{2},...,x_{n}]}$, taková, že

${\displaystyle \mathbb {I} (X)=\lbrace p\in K[x_{1},x_{2},...,x_{n}]|p(a)=0,\forall a\in X\rbrace ,}$

${\displaystyle \mathbb {V} (S)=\lbrace a\in \mathbb {A} ^{n}|p(a)=0,\forall p\in S\rbrace ,}$.

S touto Galoisovou korespondencí je těsně spjatá Hilbertova věta o nulách.

Univerzální algebra

V univerzální algebře se vyskytuje několik důležitých Galoisovych korespondencí:

Nechť ${\displaystyle Alg}$ je množina všech ${\displaystyle \Sigma }$-algeber, ${\displaystyle Eq}$ je množina všech ${\displaystyle \Sigma }$-identit, ${\displaystyle \phi \subseteq Alg\times Eq}$ je relace taková, že ${\displaystyle ({\underline {A}},s\approx t)\leftrightarrow {\underline {A}}\models s\approx t}$. Pak dvojice zobrazení ${\displaystyle {\mathcal {K}}\mapsto Id({\mathcal {K}})}$ a ${\displaystyle {\mathcal {E}}\mapsto Mod({\mathcal {E}})}$, kde ${\displaystyle {\mathcal {K}}\in Alg}$ a ${\displaystyle {\mathcal {E}}\in Eq}$, je Galoisovou korespondencí indukovanou relací ${\displaystyle \phi }$.

Máme-li nějakou množinu ${\displaystyle A}$, označíme ${\displaystyle Op(A)}$ množinu všech operací na ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle Rel(A)}$ množinu všech relací na ${\displaystyle A}$ a nechť je ${\displaystyle \phi \subseteq Op\times Rel}$ kompatibilita, tj. ${\displaystyle (f,R)\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle f}$ je kompatibilní s ${\displaystyle R}$. Pak Galoisova korespondence indukovaná touto relací poskytuje dvojice zobrazení. Obraz množiny ${\displaystyle F\in Op(A)}$ nazýváme invariantem F a značíme ${\displaystyle Inv(F)}$, obraz ${\displaystyle \Theta \in Rel(A)}$ nazýváme polymorfismy ${\displaystyle \Theta }$ a značíme ${\displaystyle Pol(\Theta )}$.

Literatura

• Bergman C.: Universal algebra. Fundamentals and Selected Topics, CRC press, 2012.
• Fulton W.: Algebraic Curves, Addison-Wesley, 1989.