Gama funkce

Gama funkce (někdy také označovaná jako Eulerův integrál druhého druhu) je zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel. Používá se v mnoha oblastech matematiky, např. pro popis některých rozdělení pravděpodobnosti.

Funkce je značena pomocí řeckého písmene gama a je definována jako holomorfní rozšíření integrálu:

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$

Ačkoliv integrál samotný konverguje jen, je-li reálná část z kladná, gama funkce je definována pro libovolné komplexní číslo, kromě nekladných celých čísel.

Vlastnosti

Funkce ${\displaystyle \Gamma }$ je spojitá pro ${\displaystyle z>0}$. Funkce ${\displaystyle \Gamma }$ diverguje pro celá ${\displaystyle z\leq 0}$. Tyto body jsou póly prvního řádu a odpovídající rezidua jsou ${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=k,k\in \mathbb {Z} ,k\leq 0}\Gamma (z)={\frac {(-1)^{-k}}{\Gamma (-k)}}}$. Jiné singularity nemá a jedná se tedy o funkci meromorfní v celém oboru ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Pro n-tou derivaci platí vztah

${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(z)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\ln ^{n}t\,\mathrm {d} t}$.

V oblasti kladných reálných čísel má gama funkce minimum v bodě ${\displaystyle x\approx 1{,}461\,6}$.

Užitečné vztahy

• Pro přirozená čísla ${\displaystyle n}$ platí ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}$
• ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,}$
• ${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\;{\mbox{ pro }}0<z<1}$
• ${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (z+{\frac {1}{2}})={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2z-1}}}\Gamma (2z)}$

Některé hodnoty

${\displaystyle \Gamma (-2)\,}$	(nedefinováno)
${\displaystyle \Gamma (-3/2)\,}$	${\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (-1)\,}$	(nedefinováno)
${\displaystyle \Gamma (-1/2)\,}$	${\displaystyle =-2{\sqrt {\pi }}\,}$
${\displaystyle \Gamma (0)\,}$	(nedefinováno)
${\displaystyle \Gamma (1/2)\,}$	${\displaystyle ={\sqrt {\pi }}\,}$
${\displaystyle \Gamma (1)\,}$	${\displaystyle =0!=1\,}$
${\displaystyle \Gamma (3/2)\,}$	${\displaystyle ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (2)\,}$	${\displaystyle =1!=1\,}$
${\displaystyle \Gamma (5/2)\,}$	${\displaystyle ={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (3)\,}$	${\displaystyle =2!=2\,}$
${\displaystyle \Gamma (7/2)\,}$	${\displaystyle ={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (4)\,}$	${\displaystyle =3!=6\,}$
${\displaystyle \lim _{z\to 0+}\Gamma (z)\,}$	${\displaystyle =+\infty \,}$
${\displaystyle \lim _{z\to +\infty }\Gamma (z)\,}$	${\displaystyle =+\infty \,}$

Grafy

• 

  Reálná část Γ(z)

• 

  Imaginární část Γ(z)

• 

  Absolutní hodnota Γ(z)

• 

  Absolutní hodnota Γ(z), 3D pohled

Související články

• Beta funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu gama funkce na Wikimedia Commons
• Gama funkce v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Online kalkulátor Gama funkce