Gaussův integrál
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/E%5E%28-x%5E2%29.svg/440px-E%5E%28-x%5E2%29.svg.png)
Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál,[1] je integrál Gaussovy funkce přes celou reálnou osu:
- .
Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.
Výpočet
Integrál Gaussovy funkce označíme :
- .
Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme :
- .
Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí:
- .
Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi . Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic , do kterých funkci přepíšeme:
- .
Tento integrál už lze jednoduše vyřešit substitucí a jeho hodnota je . Odmocněním rovnice dostaneme výsledek:
- .
Reference
- ↑ Пуассона интеграл Archivováno 28. 8. 2009 na Wayback Machine., БСЭ
Literatura
- Josef Kvasnica: Matematický aparát fyziky, Academia, Praha 1997, ISBN 80-200-0603-6
Související články
Média použitá na této stránce
Autor: Autopilot, Licence: CC BY-SA 3.0
Graph of the function for the article Gaussian integral.