Gaussova funkce

Grafy normalizovaných gaussovských funkcí s různými parametry

Gaussova funkce pojmenovaná po matematikovi Carlu Friedrichu Gaussovi je reálná funkce jedné reálné proměnné se třemi parametry ve tvaru

Čísla a musí být kladná, je libovolné reálné, je Eulerovo číslo (2,71828...). Graf funkce má v bodě vrchol o výšce , který graf dělí na dvě vzájemně souměrné části – levou rostoucí z 0 a pravou klesající asymptoticky zpět k 0. Parametr určuje šířku „kopce“ ve výšce . V polovině výšky má graf šířku .

Normalizované funkce

Gaussova funkce se velmi často používá ve významu hustoty pravděpodobnosti. V takovém případě musí být její integrál (plocha pod grafem) přes celý definiční obor roven 1, což představuje pravděpodobnost jistého jevu.

Tuto normalizační podmínku lze splnit vhodnou volbou konstanty . Nejjednodušší gaussovskou funkcí je , jejíž integrál je roven (viz Gaussův integrál), takže její normalizovaná verze musí mít tvar

Parametr pouze posouvá graf podél osy , takže nemá vliv na hodnotu integrálu. Parametr graf rozšiřuje a integrál se přitom násobí číslem . Obecná normalizovaná Gaussova funkce tedy musí mít tvar

Parametr má v tomto případě význam střední hodnoty náhodné veličiny a parametr je směrodatná odchylka.

Fourierova transformace

Z matematického a fyzikálního hlediska jsou Gaussovy funkce významné také tím, že při je Fourierovým obrazem funkce opět Gaussova funkce, obecně s jinými parametry.

Je-li navíc , je Gaussova funkce obrazem sama sebe (), takže představuje pevný bod Fourierovy transformace. Ze všech normalizovaných funkcí má tuto vlastnost pouze jediná:

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Normal Distribution PDF.svg
A selection of Normal Distribution Probability Density Functions (PDFs). Both the mean, μ, and variance, σ², are varied. The key is given on the graph.