Gaussova kvadratura

Numerické metody integrace jsou v numerické matematice metody výpočtu přibližných hodnot určitých integrálů funkcí. Při numerickém výpočtu určitého integrálu nějaké funkce se obvykle používá vážený součet hodnot této funkce v určitých bodech integračního intervalu – viz články Numerická integrace a Kvadratura (matematika).

Gaussova kvadratura, přesněji n-bodová Gaussova metoda numerické integrace, pojmenovaná po Carlu Friedrichu Gaussovi^[1] je metoda numerické integrace, která díky vhodné volbě uzlů x_i a vah w_i pro i = 1, ..., n dává pro polynomy do stupně 2n − 1 přesné výsledky. Moderní formulaci, v níž se používají ortogonální polynomy vyvinul Carl Gustav Jacob Jacobi v roce 1826.^[2] Nejobvyklejším integračním intervalem pro tuto metodu je ${\displaystyle \langle -1,1\rangle }$, na kterém se pro výpočet určitého integrálu používá vzorec

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),}$

který poskytuje přesné výsledky pro polynomy do stupně 2n − 1. Tato numerická metoda se nazývá Gaussova-Legendreova metoda numerické integrace. Metoda numerické integrace bude přesnou aproximací integrálu uvedeného výše pouze v případě, když funkci f(x) lze na intervalu ${\displaystyle \langle -1,1\rangle }$ dobře aproximovat polynomem stupně nejvýše 2n − 1.

Gaussova-Legendreova metoda numerické integrace se zpravidla nepoužívá pro integraci funkcí se singularitami v koncových bodech. V takovém případě se snažíme integrand zapsat jako

${\displaystyle f(x)=\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x),\quad \alpha ,\beta >-1,}$

kde g(x) je funkce, kterou lze dobře aproximovat polynomem nízkého stupně. Pak použití alternativních uzlů ${\displaystyle x_{i}'}$ a vah ${\displaystyle w_{i}'}$ obvykle dává přesnější metody numerické integrace, které jsou známy jako Gaussova-Jacobiho kvadraturní pravidla:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}'g\left(x_{i}'\right).}$

Jako váhy se často používají hodnoty ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ (Čebyševova–Gaussova kvadratura) a ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$. Můžeme také chtít integrovat na intervalech neomezených z jedné (Gaussova-Laguerrova kvadratura) nebo obou stran (Gaussova–Hermitova kvadratura).

Lze ukázat (viz Press, et al. nebo Stoer a Bulirsch), že kvadraturní uzly x_i jsou kořeny polynomu patřícího do třídy ortogonálních polynomů (třída ortogonální vůči váženému vnitřnímu součinu). To je klíčové pozorování pro výpočet uzlů a vah pro Gaussovu kvadraturu.

Pro nejjednodušší případ numerické integrace uvedený výše je funkce f(x) aproximována polynomy na intervalu ${\displaystyle \langle -1,1\rangle ,}$ a přidružené ortogonální polynomy jsou Legendreovy polynomy označované P_n(x). Zde je n-tý polynom normalizovaný tak, aby P_n(1) = 1, i-tý Gaussův uzel x_i je i-tým kořenem polynomu P_n a váhy jsou dané vzorcem^[3]

${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)\left[P'_{n}(x_{i})\right]^{2}}}.}$

Integrační body a váhy pro Gaussovu–Legendreovu kvadraturu několika nižších řádů na intervalu ${\displaystyle \langle -1,1\rangle }$ jsou uvedeny v následující tabulce:

Pro výpočet integrálu na obecném intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ je třeba před použitím Gaussovy metody numerické integrace úlohu převést na integrál na intervalu ${\displaystyle \langle -1,1\rangle }$ pomocí vzorce

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}\xi +{\frac {a+b}{2}}\right)\,{\frac {dx}{d\xi }}d\xi }$

kde ${\displaystyle {\frac {dx}{d\xi }}={\frac {b-a}{2}}}$

Použití ${\displaystyle n}$-bodového Gaussova kvadraturního pravidla ${\displaystyle (\xi ,w)}$ pak dává následující aproximaci:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}\xi _{i}+{\frac {a+b}{2}}\right).}$

Použijeme dvoubodovou Gaussovu metodu numerické integrace pro výpočet vzdálenosti, kterou uletí raketa v čase ${\displaystyle t=8\mathrm {s} }$ až ${\displaystyle t=30\mathrm {s} ,}$ s použitím vzorce ${\displaystyle x=\int _{8}^{30}{\left(2000\ln \left[{\frac {140000}{140000-2100t}}\right]-9.8t\right){dt}}}$

Změníme meze integračního intervalu, abychom mohli použít váhy a x-ové souřadnice uvedené v Tabulce 1. Také najdeme absolutní hodnotu relativní skutečné chyby. Přesný výsledek je 11061,34 metrů

Řešení:

provedeme změnu mezí integračního intervalu z ${\displaystyle \left\langle 8,30\right\rangle }$ na ${\displaystyle \left\langle -1,1\right\rangle }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{8}^{30}{f(t)dt}&={\frac {30-8}{2}}\int _{-1}^{1}{f\left({\frac {30-8}{2}}x+{\frac {30+8}{2}}\right){dx}}\\&=11\int _{-1}^{1}{f\left(11x+19\right){dx}}\end{aligned}}}$

Použijeme váhy a hodnoty argumentu z Tabulky 1 pro dvoubodové pravidlo:

• ${\displaystyle c_{1}=1.000000000}$
• ${\displaystyle x_{1}=-0.577350269}$
• ${\displaystyle c_{2}=1.000000000}$
• ${\displaystyle x_{2}=0.577350269}$

Načež můžeme použít Gaussův vzorec pro numerickou integraci

${\displaystyle {\begin{aligned}11\int _{-1}^{1}{f\left(11x+19\right){dx}}&\approx 11\left[c_{1}f\left(11x_{1}+19\right)+c_{2}f\left(11x_{2}+19\right)\right]\\&=11\left[f\left(11(-0.5773503)+19\right)+f\left(11(0.5773503)+19\right)\right]\\&=11\left[f(12.64915)+f(25.35085)\right]\\&=11\left[(296.8317)+(708.4811)\right]\\&=11058.44\end{aligned}}}$

dostáváme

${\displaystyle {\begin{aligned}f(12.64915)&=2000\ln \left[{\frac {140000}{140000-2100(12.64915)}}\right]-9.8(12.64915)\\&=296.8317\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}f(25.35085)&=2000\ln \left[{\frac {140000}{140000-2100(25.35085)}}\right]-9.8(25.35085)\\&=708.4811\end{aligned}}}$

Pokud přesný výsledek je 11061,34 m, absolutní hodnota relativní skutečné chyby, ${\displaystyle \left|\varepsilon _{t}\right|}$ je ${\displaystyle \left|\varepsilon _{t}\right|=\left|{\frac {11061.34-11058.44}{11061.34}}\right|\times 100\%=0.0262\%}$

Problém integrace lze vyjádřit poněkud obecnějším způsobem tak, že do integrandu vneseme kladnou váhovou funkci ω a povolíme jiné integrační intervaly než ${\displaystyle \langle -1,1\rangle }$. Obecně tedy počítáme

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,f(x)\,dx}$

pro určité a, b a ω. Pro a = −1, b = 1 a ω(x) = 1 jde o stejný problém, jaký je popsán výše. Jiné volby vedou k jiným integračním pravidlům, z nichž některá jsou tabelována níže. Čísla rovnic ve sloupci „A & S“ jsou podle Abramowitz a Stegun

Nechť p_n je netriviální polynom stupně n, takový, že

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,x^{k}p_{n}(x)\,dx=0,\quad {\text{pro všechna }}k=0,1,\ldots ,n-1.}$

Všimněte si, že toto bude splněno pro všechny ortogonální polynomy výše, protože každý polynom p_n je zkonstruován tak, aby byl ortogonální k ostatním polynomům p_j pro j<n, a x^k je v rozsahu této množiny.

Pokud vybereme n uzlů x_i tak, aby to byly kořeny polynomu p_n, pak existuje n vah w_i, pro které je integrál vypočítaný Gaussovou kvadraturou přesný pro všechny polynomy h(x) stupně nejvýše 2n − 1. Všechny tyto uzly x_i budou navíc ležet v otevřeném intervalu (a, b)^[4].

Pro důkaz první části tohoto tvrzení budeme předpokládat, že h(x) je jakýkoli polynom stupně nejvýše 2n − 1. Pokud jej vydělíme ortogonálním polynomem p_n dostaneme

${\displaystyle h(x)=p_{n}(x)\,q(x)+r(x).}$

kde q(x) je podíl stupně nejvýše n − 1 (protože součet jeho stupně a stupně dělitele p_n musí být roven stupni h(x)), a r(x) je zbytek také stupně nejvýše n − 1 (protože stupeň zbytku je vždy menší než stupeň dělitele). Protože p_n je podle předpokladu ortogonální ke všem jednočlenům stupně menšího než n, musí být ortogonální také s podílem q(x). Proto

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,h(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,{\big (}\,p_{n}(x)q(x)+r(x)\,{\big )}\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx.}$

Protože zbytek r(x) má stupeň nejvýše n − 1, můžeme jej přesně interpolovat pomocí Lagrangeovy interpolace l_i(x) s n interpolačními body, kde

${\displaystyle l_{i}(x)=\prod _{j\neq i}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}.}$

tedy

${\displaystyle r(x)=\sum _{i=1}^{n}l_{i}(x)\,r(x_{i}).}$

Jeho integrál pak bude roven

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,\sum _{i=1}^{n}l_{i}(x)\,r(x_{i})\,dx=\sum _{i=1}^{n}\,r(x_{i})\,\int _{a}^{b}\omega (x)\,l_{i}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}\,r(x_{i})\,w_{i},}$

kde váha w_i přiřazená uzlu x_i je definována, aby vyrovnala vážený integrál l_i(x) (další vzorce pro váhy jsou uvedeny níže). Protože však všechny x_i jsou kořeny polynomu p_n, podle vzorce pro dělení uvedeného výše platí

${\displaystyle h(x_{i})=p_{n}(x_{i})\,q(x_{i})+r(x_{i})=r(x_{i}),}$

pro všechna i. Tím dostáváme

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,h(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,r(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,h(x_{i}).}$

Tím jsme dokázali, že pro jakýkoli polynom h(x) stupně nejvýše 2n − 1 je integrál přesně roven hodnotě spočítané Gaussovou kvadraturou.

Pro důkaz druhé části tvrzení použijeme polynom ve tvaru součinu kořenových činitelů p_n. Komplexně sdružené kořeny tvoří kvadratické členy, které jsou na celé reálné ose buď kladné nebo záporné. Členy odpovídající kořenům ležícím mimo interval ${\displaystyle \langle a,b\rangle ,}$ nemění na tomto intervalu znaménko. A členy odpovídající kořenům x_i z intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle ,}$ které jsou liché násobnosti, násobí p_n jedním dalším členem, který tvoří nový polynom

${\displaystyle p_{n}(x)\,\prod _{i}(x-x_{i}).}$

Tento polynom nemůže na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ měnit znaménko, protože všechny jeho kořeny mají sudou násobnost. Proto integrál

${\displaystyle \int _{a}^{b}p_{n}(x)\,\left(\prod _{i}(x-x_{i})\right)\,\omega (x)\,dx\neq 0,}$

protože váhová funkce ω(x) je vždy nezáporná. Protože však p_n je ortogonální ke všem polynomům stupně nejvýše n-1, bude stupeň součinu

${\displaystyle \prod _{i}(x-x_{i})}$

alespoň n. Proto p_n má n různých reálných kořenů v intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle .}$

Váhy je možné vyjádřit vzorcem

kde ${\displaystyle a_{k}}$ je koeficient u ${\displaystyle x^{k}}$ v ${\displaystyle p_{k}(x)}$. Pro důkaz je třeba si všimnout, že při použití Lagrangeovy interpolace můžeme r(x) vyjádřit pomocí ${\displaystyle r(x_{i})}$ jako

${\displaystyle r(x)=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}}$

protože r(x) má stupeň menší než n a je proto určen hodnotami, kterých nabývá v n různých bodech. Když znásobíme obě strany ω(x) a zintegrujeme je na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle ,}$ dostaneme

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)r(x)dx=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\int _{a}^{b}\omega (x)\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}dx}$

Váhy w_i jsou tedy dány vzorcem

${\displaystyle w_{i}=\int _{a}^{b}\omega (x)\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}dx}$

Tento integrální výraz pro ${\displaystyle w_{i}}$ lze vyjádřit pomocí ortogonálních polynomů ${\displaystyle p_{n}(x)}$ a ${\displaystyle p_{n-1}(x)}$ takto: Můžeme psát

${\displaystyle \prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x-x_{j}\right)={\frac {\prod _{1\leq j\leq n}\left(x-x_{j}\right)}{x-x_{i}}}={\frac {p_{n}(x)}{a_{n}\left(x-x_{i}\right)}}}$

kde ${\displaystyle a_{n}}$ je koeficient u ${\displaystyle x^{n}}$ v ${\displaystyle p_{n}(x)}$. Pokud se x limitně blíží ${\displaystyle x_{i},}$ dostaneme pomocí L'Hôpitalova pravidla

${\displaystyle \prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x_{i}-x_{j}\right)={\frac {p'_{n}(x_{i})}{a_{n}}}}$

Můžeme tedy napsat výraz pro váhy s použitím integrálu ve tvaru

Jmenovatel v integrandu můžeme zapsat

${\displaystyle {\frac {1}{x-x_{i}}}={\frac {1-\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}}{x-x_{i}}}+\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}\,,}$

což dává

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {x^{k}p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx=x_{i}^{k}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}$

pokud ${\displaystyle k\leq n}$, protože

${\displaystyle {\frac {1-\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}}{x-x_{i}}}}$

je polynom stupně k − 1, který je tedy ortogonální k ${\displaystyle p_{n}(x)}$. Pokud tedy q(x) je polynom nejvýše n-tého stupně, můžeme napsat

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {1}{q(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {q(x)p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}$

Integrál na pravé straně můžeme pro ${\displaystyle q(x)=p_{n-1}(x)}$ vyhodnotit takto: Protože ${\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}}$ je polynom stupně n − 1, máme

${\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}=a_{n}x^{n-1}+s(x)}$

kde s(x) je polynom stupně ${\displaystyle n-2}$. Protože s(x) je ortogonální s ${\displaystyle p_{n-1}(x),}$ platí

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {a_{n}}{p_{n-1}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)x^{n-1}dx}$

Pak můžeme psát

${\displaystyle x^{n-1}=\left(x^{n-1}-{\frac {p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}}\right)+{\frac {p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}}}$

Člen v závorkách je polynom stupně ${\displaystyle n-2}$, který je proto ortogonální s ${\displaystyle p_{n-1}(x)}$. Integrál tedy můžeme vyjádřit jako

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {a_{n}}{a_{n-1}p_{n-1}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)^{2}dx}$

Podle rovnice (2) se váhy získají vydělením tohoto výrazu výrazem ${\displaystyle p'_{n}(x_{i})}$, což dává výraz v rovnici (1).

Váhy ${\displaystyle w_{i}}$ mohou být také vyjádřeny pomocí ortogonálních polynomů ${\displaystyle p_{n}(x)}$ a ${\displaystyle p_{n+1}(x)}$. V trojčlenném rekurentním vztahu ${\displaystyle p_{n+1}(x_{i})=(a)p_{n}(x_{i})+(b)p_{n-1}(x_{i})}$ bude mít člen s ${\displaystyle p_{n}(x_{i})}$ nulovou hodnotu, takže ${\displaystyle p_{n-1}(x_{i})}$ v (1) lze nahradit ${\textstyle {\frac {1}{b}}p_{n+1}\left(x_{i}\right)}$.

Uvažujme následující polynom stupně ${\displaystyle 2n-2}$:

${\displaystyle f(x)=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {\left(x-x_{j}\right)^{2}}{\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}}}$

kde, jak je uvedeno výše, x_j jsou kořeny polynomu ${\displaystyle p_{n}(x)}$. Je zřejmé, že ${\displaystyle f(x_{j})=\delta _{ij}}$. Protože stupeň ${\displaystyle f(x)}$ je menší než ${\displaystyle 2n-1}$, platí Gaussův vzorec pro numerickou integraci obsahující váhy a uzly získané z ${\displaystyle p_{n}(x)}$. Protože ${\displaystyle f(x_{j})=0}$, pokud j není rovno i, máme

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)f(x)dx=\sum _{j=1}^{n}w_{j}f(x_{j})=\sum _{j=1}^{n}\delta _{ij}w_{j}=w_{i}>0.}$

Protože jak ${\displaystyle \omega (x)}$ tak ${\displaystyle f(x)}$ jsou nezáporné funkce. Odtud plyne, že ${\displaystyle w_{i}>0}$.

Existuje mnoho algoritmů pro výpočet uzlů x_i a vah w_i v Gaussově metodě numerické integrace. Nejoblíbenější jsou Golubův-Welschův algoritmus vyžadující O(n²) operací, Newtonova metoda pro řešení ${\displaystyle p_{n}(x)=0}$ s pomocí trojčlenného rekurentního vztahu pro vyhodnocování, která vyžaduje O(n²) operací, a asymptotické vzorce pro velká n, které vyžadují O(n) operací.

Ortogonální polynomy ${\displaystyle p_{r}}$, pro které platí, že ${\displaystyle (p_{r},p_{s})=0}$ pro ${\displaystyle r\neq s,}$ kde ${\displaystyle (\,\,)}$ je skalární součin, stupeň ${\displaystyle (p_{r})=r}$ a koeficient u nejvyššího členu je jedna (tj. jde o monické ortogonální polynomy) vyhovují rekurentnímu vztah

${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_{r}(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)\cdots -a_{r,0}p_{0}(x)}$

a skalární součin definovaný vzorcem

${\displaystyle (f(x),g(x))=\int _{a}^{b}\omega (x)f(x)g(x)dx}$

pro ${\displaystyle r=0,1,\ldots ,n-1}$, kde n je nejvyšší stupeň, který může jít k nekonečnu, a kde ${\textstyle a_{r,s}={\frac {\left(xp_{r},p_{s}\right)}{\left(p_{s},p_{s}\right)}}}$. Především polynomy, definované rekurentním vztahem začínajícím ${\displaystyle p_{0}(x)=1}$, mají úvodní koeficient jedna a jsou správného stupně. Je-li dán počáteční bod ${\displaystyle p_{0}}$, lze ortogonalitu ${\displaystyle p_{r}}$ dokázat indukcí. Pro ${\displaystyle r=s=0}$ máme

${\displaystyle (p_{1},p_{0})=(x-a_{0,0})(p_{0},p_{0})=(xp_{0},p_{0})-a_{0,0}(p_{0},p_{0})=(xp_{0},p_{0})-(xp_{0},p_{0})=0.}$

Pokud jsou ${\displaystyle p_{0},p_{1},\ldots ,p_{r}}$ ortogonální, pak také ${\displaystyle p_{r+1}}$, protože ve výrazu

${\displaystyle (p_{r+1},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-a_{r,r}(p_{r},p_{s})-a_{r,r-1}(p_{r-1},p_{s})\cdots -a_{r,0}(p_{0},p_{s})}$

jsou všechny skalární součiny nulové kromě prvního a toho, kde ${\displaystyle p_{s}}$ je stejný ortogonální polynom. Proto

${\displaystyle (p_{r+1},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-a_{r,s}(p_{s},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-(xp_{r},p_{s})=0.}$

Pokud však pro skalární součin platí ${\displaystyle (xf,g)=(f,xg)}$ (což je v případě Gaussovy kvadratury splněno), rekurentní vztah lze zjednodušit na vztah obsahující tři členy: Pro ${\displaystyle s<r-1}$ je ${\displaystyle xp_{s}}$ polynom stupně nejvýše r − 1. Na druhou stranu, ${\displaystyle p_{r}}$ je ortogonální ke každému polynomu stupně nejvýše r − 1. Proto máme ${\displaystyle (xp_{r},p_{s})=(p_{r},xp_{s})=0}$ a ${\displaystyle a_{r,s}=0}$ pro s < r − 1. Rekurentní vztah se pak zjednoduší na

${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_{r}(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)}$

nebo

${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r})p_{r}(x)-b_{r}p_{r-1}(x)}$

(s konvencí ${\displaystyle p_{-1}(x)\equiv 0}$), kde

${\displaystyle a_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r})}{(p_{r},p_{r})}},\qquad b_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r-1})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}={\frac {(p_{r},p_{r})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}}$

(poslední vztah platí, protože ${\displaystyle (xp_{r},p_{r-1})=(p_{r},xp_{r-1})=(p_{r},p_{r})}$, protože ${\displaystyle xp_{r-1}}$ se liší od ${\displaystyle p_{r}}$ ve stupni menším než r).

Trojčlenný rekurentní vztah lze zapsat v maticovém tvaru ${\displaystyle J{\tilde {P}}=x{\tilde {P}}-p_{n}(x)\times \mathbf {e} _{n}}$, kde ${\displaystyle {\tilde {P}}={\begin{pmatrix}p_{0}(x)&p_{1}(x)&\ldots &p_{n-1}(x)\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$ je ${\displaystyle n}$-tý vektor standardní báze, tj. ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}={\begin{pmatrix}0&\ldots &0&1\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}}$, a J je tak zvaná Jacobiho matice:

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}a_{0}&1&0&\ldots &\ldots &\ldots \\b_{1}&a_{1}&1&0&\ldots &\ldots \\0&b_{2}&a_{2}&1&0&\ldots \\0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0\\\ldots &\ldots &0&b_{n-2}&a_{n-2}&1\\\ldots &\ldots &\ldots &0&b_{n-1}&a_{n-1}\end{pmatrix}}}$

Nulové body ${\displaystyle x_{j}}$ polynomů do stupně n, které se používají jako uzly pro Gaussovu kvadraturu, lze nalézt výpočtem vlastních hodnot této třídiagonální matice. Tento postup je znám jako Golubův–Welschův algoritmus.

Pro výpočet vah a uzlů je vhodnější uvažovat symetrickou třídiagonální matici ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ s prvky

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {J}}_{i,i}=J_{i,i}&=a_{i-1}&&i=1,\ldots ,n\\{\mathcal {J}}_{i-1,i}={\mathcal {J}}_{i,i-1}={\sqrt {J_{i,i-1}J_{i-1,i}}}&={\sqrt {b_{i-1}}}&&i=2,\ldots ,n.\end{aligned}}}$

J a ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ jsou podobné matice a proto mají stejná vlastní čísla (uzly). Váhy lze vypočítat z odpovídajících vlastních vektorů: Pokud ${\displaystyle \phi ^{(j)}}$ je normalizovaný vlastní vektor (tj. vlastní vektor s Eukleidovskou normou rovné jedné) příslušný k vlastní hodnotě x_j, lze odpovídající váhu vypočítat z první složky tohoto vlastního vektoru, jmenovitě:

${\displaystyle w_{j}=\mu _{0}\left(\phi _{1}^{(j)}\right)^{2}}$

kde ${\displaystyle \mu _{0}}$ je integrál váhové funkce

${\displaystyle \mu _{0}=\int _{a}^{b}\omega (x)dx.}$

Další detaily lze nalézt v monografii Numerical Methods for Special Function.^[5]

Pro integrand, který má 2n spojitých derivací, platí následující odhad chyby Gausovy metody numerické integrace:^[6]

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,f(x)\,dx-\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,f(x_{i})={\frac {f^{(2n)}(\xi )}{(2n)!}}\,(p_{n},p_{n})}$

pro nějaké ξ z intervalu (a, b), kde p_n je monický (tj. má úvodní koeficient roven 1) ortogonální polynom stupně n a kde

${\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}\omega (x)f(x)g(x)\,dx.}$

V důležitém speciálním případě, kdy ω(x) = 1, je odhad chyby:^[7]

${\displaystyle {\frac {\left(b-a\right)^{2n+1}\left(n!\right)^{4}}{(2n+1)\left[\left(2n\right)!\right]^{3}}}f^{(2n)}(\xi ),\qquad a<\xi <b.}$

Tento odhad chyby může být v praxi problematický, protože odhad derivace řádu 2n může být obtížný, a skutečná chyba může být navíc mnohem menší než jakou dává tento odhad.^[8] Alternativním přístupem může být použití dvou Gaussových metod numerické integrace s různými parametry, a odhadnutí chyby jako rozdílu obou výsledků. K tomuto účelu může být užitečná Gaussova–Kronrodova metoda numerické integrace.

Pokud bychom zjemnili rozdělení intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, Gaussovy body vyhodnocování na nových podintervalech se nebudou shodovat s předchozími body (až bodu nula pro liché n), a integrand by se tedy musel vyčíslovat v každém bodě. Gaussova–Kronrodova pravidla jsou rozšířením Gaussovy metody numerické integrace generované přidáním n + 1 bodů k n-bodovému pravidlu takovým způsobem, že výsledné pravidlo má řád 2n + 1 a umožňuje vypočítat odhady vyšších řádů s použitím funkčních hodnot z odhadů nižších řádů. Rozdíl mezi hodnotami získanými Gaussovou metodou numerické integrace a jejím Kronrodovým rozšířením se často používá pro odhad chyby aproximace.

Metoda známá také jako Lobattova kvadratura^[9] pojmenovaná po nizozemském matematikovi Rehuelu Lobattovi se podobá Gaussově kvadratuře s následujícími rozdíly:

1. Integračními body jsou také koncové body integračního intervalu.
2. Je přesná pro polynomy do stupně 2n – 3, kde n je počet integračních bodů^[10].

Lobattova kvadratura funkce f(x) na intervalu ${\displaystyle \langle -1,1\rangle }$:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{f(x)\,dx}={\frac {2}{n(n-1)}}[f(1)+f(-1)]+\sum _{i=2}^{n-1}{w_{i}f(x_{i})}+R_{n}.}$

X-ové souřadnice: x_i je ${\displaystyle (i-1)}$-tý kořen ${\displaystyle P'_{n-1}(x)}$, zde ${\displaystyle P_{m}(x)}$ označuje standardní Legendreův polynom m-tého stupeň a apostrof označuje derivaci.

Váhy:

${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{n(n-1)\left[P_{n-1}\left(x_{i}\right)\right]^{2}}},\qquad x_{i}\neq \pm 1.}$

Zbytek:

${\displaystyle R_{n}={\frac {-n\left(n-1\right)^{3}2^{2n-1}\left[\left(n-2\right)!\right]^{4}}{(2n-1)\left[\left(2n-2\right)!\right]^{3}}}f^{(2n-2)}(\xi ),\qquad -1<\xi <1.}$

Integrační body a váhy pro několik nižších řádů jsou:

Adaptivní varianta tohoto algoritmu se dvěma vnitřními uzly^[11] je implementována v GNU Octave a MATLAB jako quadl a integrate.^[12][13]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Gaussian quadrature na anglické Wikipedii.

• KABIR1, H.; MATIKOLAEI, S. A. H. H., 2017. Implementing an Accurate Generalized Gaussian Quadrature Solution to Find the Elastic Field in a Homogeneous Anisotropic Media. Journal of the Serbian Society for Computational Mechanics. Roč. 11, čís. 1, s. 11–19. Dostupné online. DOI 10.24874/jsscm.2017.11.01.02. 
• ABRAMOWITZ, Milton; STEGUN, 1983 [June 1964]. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Svazek 55. Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. (Applied Mathematics Series). ISBN 978-0-486-61272-0. 
• ANDERSON, Donald G., 1965. Gaussian quadrature formulae for${\displaystyle \int _{0}^{1}-\ln(x)f(x)dx}$. Math. Comp.. Roč. 19, čís. 91, s. 477–481. DOI 10.1090/s0025-5718-1965-0178569-1. 
• GOLUB, Gene H.; WELSCH, John H., 1969. Calculation of Gauss Quadrature Rules. Mathematics of Computation. Roč. 23, čís. 106, s. 221–230. DOI 10.1090/S0025-5718-69-99647-1. JSTOR 2004418. 
• GAUTSCHI, Walter, 1968. Construction of Gauss–Christoffel Quadrature Formulas. Math. Comp.. Roč. 22, čís. 102, s. 251–270. DOI 10.1090/S0025-5718-1968-0228171-0. 
• GAUTSCHI, Walter, 1970. On the construction of Gaussian quadrature rules from modified moments. Math. Comp.. Roč. 24, s. 245–260. DOI 10.1090/S0025-5718-1970-0285117-6. 
• PIESSENS, R., 1971. Gaussian quadrature formulas for the numerical integration of Bromwich's integral and the inversion of the laplace transform. J. Eng. Math.. Roč. 5, čís. 1, s. 1–9. DOI 10.1007/BF01535429. Bibcode 1971JEnMa...5....1P. 
• DANLOY, Bernard, 1973. Numerical construction of Gaussian quadrature formulas for${\displaystyle \int _{0}^{1}(-\log x)x^{\alpha }f(x)dx}$and${\displaystyle \int _{0}^{\infty }E_{m}(x)f(x)dx}$. Math. Comp.. Roč. 27, čís. 124, s. 861–869. DOI 10.1090/S0025-5718-1973-0331730-X. 
• KAHANER, David; MOLER, Cleve; NASH, Stephen, 1989. Numerical Methods and Software. [s.l.]: Prentice-Hall. Dostupné online. ISBN 978-0-13-627258-8. 
• SAGAR, Robin P., 1991. A Gaussian quadrature for the calculation of generalized Fermi-Dirac integrals. Comput. Phys. Commun.. Roč. 66, čís. 2–3, s. 271–275. DOI 10.1016/0010-4655(91)90076-W. Bibcode 1991CoPhC..66..271S. 
• YAKIMIW, E., 1996. Accurate computation of weights in classical Gauss-Christoffel quadrature rules. J. Comput. Phys.. Roč. 129, čís. 2, s. 406–430. DOI 10.1006/jcph.1996.0258. Bibcode 1996JCoPh.129..406Y. 
• LAURIE, Dirk P., 1999. Accurate recovery of recursion coefficients from Gaussian quadrature formulas. J. Comput. Appl. Math.. Roč. 112, čís. 1–2, s. 165–180. DOI 10.1016/S0377-0427(99)00228-9. 
• LAURIE, Dirk P., 2001. Computation of Gauss-type quadrature formulas. J. Comput. Appl. Math.. Roč. 127, čís. 1–2, s. 201–217. DOI 10.1016/S0377-0427(00)00506-9. Bibcode 2001JCoAM.127..201L. 
• RIENER, Cordian; SCHWEIGHOFER, Markus, 2018. Optimization approaches to quadrature: New characterizations of Gaussian quadrature on the line and quadrature with few nodes on plane algebraic curves, on the plane and in higher dimensions. Journal of Complexity. Roč. 45, s. 22–54. DOI 10.1016/j.jco.2017.10.002. arXiv 1607.08404. 
• STOER, Josef; BULIRSCH, Roland, 2002. Introduction to Numerical Analysis. 2. vyd. [s.l.]: Springer. Dostupné online. ISBN 978-0-387-95452-3. .
• TEMME, Nico M., 2010. NIST Handbook of Mathematical Functions. Příprava vydání in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W.. [s.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. 
• PRESS, WH; TEUKOLSKY, SA; VETTERLING, WT; FLANNERY, BP, 2007. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 2. vyd. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Kapitola Section 4.6. Gaussian Quadratures and Orthogonal Polynomials. 
• GIL, Amparo; SEGURA, Javier; TEMME, Nico M., 2007. Numerical Methods for Special Functions. [s.l.]: SIAM. ISBN 978-0-89871-634-4. Kapitola §5.3: Gauss quadrature. 
• QUARTERONI, Alfio; SACCO, Riccardo; SALERI, Fausto. Numerical Mathematics. New York: Springer-Verlag, 2000. ISBN 0-387-98959-5. S. 422, 425. 
• GAUTSCHI, Walter. A Software Repository for Gaussian Quadratures and Christoffel Functions. [s.l.]: SIAM, 2000. ISBN 978-1-611976-34-2. 
• LAUDADIO, Teresa; MASTRONARDI, Nicola; VAN DOOREN, Paul, 2023. Computing Gaussian quadrature rules with high relative accuracy. Numerical Algorithms. Roč. 92, s. 767–793. 

• Numerická integrace
• Newtonovy–Cotesovy vzorce

• SEGETHOVÁ, J. Základy numerické matematiky. Praha: MFF UK, 2002. 

• Gauss quadrature formula Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• ALGLIB obsahuje sadu algoritmů pro numerickou integration (v jazycích C# / C++ / Delphi / Visual Basic / atd.)
• GNU Scientific Library — obsahuje implementaci algoritmů QUADPACK pro programovací jazyk C (viz též GNU Scientific Library)
• From Lobatto Quadrature to the Euler constant e
• Gaussian Quadrature Rule of Integration – Notes, PPT, Matlab, Mathematica, Maple, Mathcad at Holistic Numerical Methods Institute
• Gaussova kvadratura v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Gaussian Quadrature autoři: Chris Maes a Anton Antonov, Wolfram Demonstrations Project.
• Tabulované váhy a uzly zdrojovým kódem pro systém Mathematica, high přesností (16 a 256 desítkových míst) Legendreova-Gaussovy kvadraturní váhy a uzly, pro n=2 through n=64, zdrojovým kódem pro systém Mathematica.
• Mathematica source code distributed under the GNU LGPL pro generování uzlů vah pro libovolné váhové funkce W(x), integrační intervaly a přesnosti.
• Gaussova kvadratura v Boost.Math, pro libovolnou přesnost a řád aproximace
• Gaussova-Kronrodova kvadratura v Boost.Math
• Uzly a váhy pro Gaussovu kvadraturu Archivováno 14. 4. 2021 na Wayback Machine.