Gaussova věta

Gaussova-Ostrogradského věta (Věta o divergenci)^[1] je věta diferenciální geometrie, která popisuje vztah mezi plošným integrálem druhého druhu vektorového pole v prostoru přes orientovanou plochu a objemovým integrálem divergence vektorového pole přes regulární oblast. Tato věta je speciálním případem tzv. zobecněné Stokesovy věty. Autorem Gaussovy-Ostrogradského věty je Johann Gauss a dokázal ji Michail Vasiljevič Ostrogradskij.

Znění věty

Je-li ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=[F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z)]}$ vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na omezené regulární oblasti ${\displaystyle V}$ ohraničené uzavřenou jednoduše souvislou po částech hladkou kladně orientovanou plochou ${\displaystyle S}$, pak platí:

${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \ \mathrm {d} S=\iiint _{V}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\ \mathrm {d} V=\iiint _{V}({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}})\ \mathrm {d} x\ \mathrm {d} y\ \mathrm {d} z}$,

kde ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ je divergence vektorového pole ${\displaystyle \mathbf {F} }$.

Z fyzikálního hlediska vyjadřuje Gaussova věta skutečnost, že tok vektorového pole ${\displaystyle \mathbf {F} }$ uzavřenou plochou je roven objemovému integrálu z divergence pole ${\displaystyle \mathbf {F} }$, neboli velikosti součtu zřídel a propadů pole v oblasti plochou uzavřenou.

Reference

Související články

• Fubiniova věta

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Gaussova věta na Wikimedia Commons