Geometrické zobrazení

Geometrické zobrazení je zobrazení, které každému bodu ${\displaystyle A}$ útvaru ${\displaystyle U}$ přiřazuje právě jeden bod ${\displaystyle A^{\prime }}$ útvaru ${\displaystyle U^{\prime }}$.

Bod ${\displaystyle A}$ je tzv. vzor a bod ${\displaystyle A^{\prime }}$ se označuje jako obraz.

Klasifikace geometrických zobrazení

Podle zachovávajících se vlastností

Podle toho, které vlastnosti se při geometrickém zobrazení zachovávají a které se mění, lze geometrická zobrazení rozdělit na:

• shodné zobrazení - zachovávají velikost a tvar; Patří sem např. posunutí, rotace apod. – shodná zobrazení lze považovat za speciální případ podobných zobrazení,
• podobné zobrazení, zachovávají tvar, ale nikoliv nezbytně velikost; např. stejnolehlost – podobná zobrazení lze považovat za speciální případ afinních zobrazení,
• afinní zobrazení – zobrazení zachovávající rovnoběžnost přímek; např. zkosení,
• projektivní zobrazení – zobrazení zachovávající kolineárnost bodů, např. středové promítání,
• topologické zobrazení – zachovává se pouze příslušnost bodu k dané křivce.

Podle dimenze prostoru

Geometrická zobrazení lze rozdělit podle dimenze transformovaného prostoru a podle toho, zda vzor i obraz mají stejnou dimenzi.

Dimenze vzoru i obrazu jsou stejné

• lineární – např. posunutí bodu po přímce
• rovinné – oproti lineárním obsahuje některá další zobrazení, např. rotace kolem bodu
• prostorové
• vícedimenzionální

Dimenze vzoru a obrazu jsou různé

• projektivní zobrazení – do této skupiny lze zařadit např. rovnoběžné promítání, axonometrie, perspektiva, a jiné metody, často využívané např. v deskriptivní geometrii.

Invariantní útvar

Pokud pro nějakou dvojici bodů ${\displaystyle A,A^{\prime }}$ platí ${\displaystyle A=A^{\prime }}$, pak bod ${\displaystyle A}$ označujeme jako samodružný. Jestliže platí ${\displaystyle U=U^{\prime }}$, pak útvar ${\displaystyle U}$ označíme jako samodružný (invariantní).

Involutorní zobrazení

Máme-li dva body ${\displaystyle A,B}$, pro které při daném zobrazení platí, že bod ${\displaystyle B}$ je obrazem bodu ${\displaystyle A}$ a současně je bod ${\displaystyle A}$ obrazem bodu ${\displaystyle B}$, pak říkáme, že body ${\displaystyle A,B}$ tvoří involutorní dvojici.

Zobrazení, které není identita a při kterém každý bod patří involutorní dvojici, nazýváme involutorním zobrazením (involucí).

Opakovaná involuce (tedy složená sama se sebou) dává identitu. Příkladem jsou souměrnosti v (euklidovské) rovině a prostoru, např. zrcadlení.

Odkazy

Související články

• Zobrazení (matematika)
• Geometrie

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu transformace souřadnic na Wikimedia Commons