Gradient (matematika)

Ukázka gradientu (modré vektory) pro dvě různá skalární pole (černá představuje vyšší hodnotu skalární funkce).
Gradient na 3D povrchu - červená šipka značí největší růst, modrá pomalejší, na vrcholu je růst i gradient nulový.

Gradient je v obecném smyslu slova směr růstu. Ve formálním jazyce matematiky označuje diferenciální operátor, jehož výsledkem je vektorové pole vyjadřující směr a velikost největší změny skalárního pole. Při formálním zápisu se používá operátor nabla .

V souřadnicovém vyjádření je v daném místě gradientem vektor, jehož složky tvoří jednotlivé parciální derivace funkce vyjadřující dané skalární pole. Pro trojrozměrné pole je gradient:

Přestože je gradient definován v kartézských souřadnicích, jde o invariantní veličinu, která nezávisí na volbě souřadnicové soustavy.

Zobecnění pro n-rozměrný prostor lze s pomocí Einsteinova sumačního pravidla vyjádřit ve tvaru

,

kde jsou souřadnice a jsou bázové vektory.

Operátor gradientu lze aplikovat nejen na skalární funkce, ale také na vektory a tenzory. Aplikace operátoru gradientu na tenzor zvyšuje jeho řád o jedna.

Vlastnosti gradientu

Jsou-li F,G vektorová pole, f,g funkce, a,b reálná čísla, má gradient následující vlastnosti:

Je lineární vůči reálným číslům

splňuje Leibnizovo pravidlo pro funkce

gradient skalárního součinu vektorů splňuje

kde chápeme jako matici a výsledek jako sloupcový vektor.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Následující vztahy udávají vyjádření gradientu v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích a stříškované tučné znaky souřadnic jsou jednotkové vektory báze v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

Ve sférických souřadnicích:

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x1,x2,x3, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h1,h2,h3

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru gradientu platí

Zde je potřeba podotknout, že zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou.

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Gradient2.svg
Autor: see file history, Licence: CC BY-SA 2.5
Původní stránka s popisem souboru byla zde. Všechna následující uživatelská jména odkazují na projekt en.wikipedia.
Gradient vectors on cos(x)*cos(y).png
Autor: Petr Kopač, Licence: CC BY-SA 3.0
Graf 3D plochy funkce více proměnných f(x, y) = cos(x)*cos(y) - vykresleno pomocí programu genius. Jsou zde znázorněny (kresleno ručně v GIMPu) vektory reprezentující směr růstu - gradient (červená - ostřejší, modrá - slabší růst).