Greenova věta

Greenova věta[1] je věta diferenciální geometrie, která popisuje vztah mezi křivkovým integrálem druhého druhu vektorového pole v rovině přes hladkou uzavřenou orientovanou křivku a plošným integrálem rotace vektorového pole přes plochu křivkou uzavřenou. Tato věta je speciálním případem tzv. Stokesovy věty. Autorem Greenovy věty je George Green.

Znění věty

D je oblast ohraničená křivkami C1, C2, C3, C4.

Je-li vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na jednoduše souvislé ploše ohraničené po částech hladkou jednoduchou uzavřenou kladně orientovanou křivkou , pak platí:

.

Výpočet obsahu

Greenovu větu je možno využít k výpočtu obsahu plochy v rovině. Zvolme funkce a tak,
že platí , potom je obsah (míra) oblasti ohraničené hranicí dán vztahem:

, neboť (viz volba výše):
, tj.:
a , z čehož plyne: a .

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Green's theorem na anglické Wikipedii.

  1. George Green, An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Nottingham, England: T. Wheelhouse, 1828)

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Green's-theorem-simple-region.svg
Autor: No machine-readable author provided. Cronholm144 assumed (based on copyright claims)., Licence: CC BY-SA 3.0
created svg