Grupoid

	Asociativita	Neutrální prvek	Inverzní prvek	Komutativita
Abelova grupa	Ano	Ano	Ano	Ano
Grupa	Ano	Ano	Ano	Ne
Monoid	Ano	Ano	Ne	Ne
Pologrupa	Ano	Ne	Ne	Ne
Lupa	Ne	Ano	Ano	Ne
Kvazigrupa	Ne	Ne	Ano	Ne
Grupoid	Ne	Ne	Ne	Ne

Struktury s jednou binární operací

V algebře je grupoid základní algebraická struktura s jednou binární operací. Je to množina A, na které je definována jedna binární operace •. Množina A je vzhledem k operaci • uzavřená, tj. výsledkem operace provedené na libovolných prvcích množiny A je prvek množiny A.

Definice

Množinu ${\displaystyle (\mathbb {M} )}$, na které je definována jedna binární operace (·) nazýváme grupoid a značíme ${\displaystyle (\mathbb {M} ;\cdot )}$.

Příklady

• (N; +) – operace sčítání na množině přirozených čísel.
• (N; ·) – operace násobení na množině přirozených čísel.

Protipříklady

• (N; −) – operace odčítání na množině přirozených čísel není uzavřená.
• (N; :) – operace dělení na množině přirozených čísel není uzavřená.

Vlastnosti

• Grupoid (M; ·) se nazývá asociativní, právě když (∀x,y,z ∈ M)(x·y)·z = x·(y·z) – tj. operace na něm definovaná je asociativní. Pokud je grupoid asociativní, nazývá se pologrupa.
• Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s neutrálním prvkem, právě když (∃e ∈ M)(∀x ∈ M) e·x = x·e = x – tj. operace na něm definovaná má neutrální prvek.
  • Jde-li o operaci násobení (tj. multiplikativní symboliku) pak neutrálnímu prvku říkáme jednotkový prvek a značíme: 1. Jde-li o operaci sčítání (tj. aditivní symboliku) pak neutrálnímu prvku říkáme nulový prvek a značíme: 0.
• Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s inverzními prvky, právě když 1 ∈ M ∧ (∀x ∈ M)(∃y ∈ M) x·y = y·x = 1 – tj. obsahuje jednotkový prvek a ke každému prvku také inverzní prvek.
• Grupoid (M; ·) se nazývá komutativní, právě když (∀x,y ∈ M)x·y = y·x – tj. operace na něm definovaná je komutativní.
• Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením zleva, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y).
• Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením zprava, právě když (∀x,y,z ∈ M) (x·z = y·z ⇒ x = y).
• Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y) ∧ (x·z = y·z ⇒ x = y).
• Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s dělením, právě když (∀x,y ∈ M)(∃u,v ∈ M) (x·u = y ∧ v·x = y).

Související články

• Pologrupa – grupoid, jehož operace je asociativní
• Monoid – grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek
• Grupa – monoid rozšířený o inverzní operaci