Grupoid (teorie kategorií)

Grupoid (teorie kategorií) je pojem z matematiky, přesněji z homotopické teorie a teorie kategorií. Grupoid zachycuje vlastnosti několika matematických struktur souvisejících s (neúplnými) symetriemi, konexemi, homotopií ad. Lze pomocí něj zachytit ale i strukturu excitací a deexcitací elektronů v obalu atomu.

Definice

Kategorii ${\displaystyle C}$ nazveme grupoid, pokud je každý morfizmus v ${\displaystyle C}$ mezi libovolnými dvěma objekty kategorie ${\displaystyle C}$ izomorfizmem.

Příklady

Grupa

Grupa je grupoid s jedním objektem. Objasněme tento příklad. Nechť ${\displaystyle K}$ je kategorie s jedním objektem ${\displaystyle *}$, v níž každý morfizmus je izomorfizmus. Sestrojme grupu ${\displaystyle G}$, jejíž prvky jsou právě všechny morfizmy z ${\displaystyle K}$, tj. elementy ${\displaystyle Mor(K)}$. Pro ${\displaystyle a,b\in G}$ definujme ${\displaystyle ab\in G}$ následovně. Jelikož ${\displaystyle a,b\in Mor(K)}$, jsou ${\displaystyle a:*\to *}$ i ${\displaystyle b:*\to *}$ morfizmy, které lze skládat (viz teorii kategorií). Výsledkem je morfizmus ${\displaystyle c\in Mor(K)}$, tj. prvek z ${\displaystyle G}$. Neutrální prvek v ${\displaystyle G}$ je definitoricky identita ${\displaystyle id}$ na ${\displaystyle *}$, která je dle definice kategorie jediná. Inverze k ${\displaystyle a\in G}$ se definuje jako inverzní morfizmus k ${\displaystyle a\in Mor(K)}$, který existuje dle definice grupoidu a je jediný dle definice kategorie. Asociativita na ${\displaystyle G}$ definovaného násobení plyne snadno z definice kategorie, kde je asociativita podmínkou, která musí být splněna pro operaci skládání morfizmů.

Obráceně lze ke každé grupě přiřadit jednoprvkový grupoid a tato konstrukce je inverzní ke konstrukce popsané v odstavci výše.

Symetrie dlaždiček

Představme si, že máme stěnu pokrytou dlaždičkami stejného obdélníkového tvaru o rozměrech 3 krát 4. Předpokládejme, že dlaždičky vyplňují právě obdélníkovou síť skládající se z např. 5 krát 7 dlaždiček. Zaveďme kartézskou souřadnou soustavu v rovině dlaždiček tak, že její počátek splývá s levým dolním rohem levé dolní dlaždičky, horizontální osa je rozdělena na 3 . 5 = 15 a vertikální na 4 . 7 = 28 dílků. Definujme grupoid ${\displaystyle K}$ symetrie dlaždiček následovně. Označme množinu všech dlaždiček symbolem ${\displaystyle D}$ a definujme ${\displaystyle Ob(K):=D}$. Pokud ${\displaystyle x,y\in Ob(K)}$, definujme ${\displaystyle Mor(x,y):=\{f\in O(2,\mathbb {R} )\times _{s}\mathbb {R} ^{2};f(x)=y\},}$ kde ${\displaystyle O(2,\mathbb {R} )}$ je grupa ortogonálních transformací v rovině, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ reprezentuje translace vektory z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ a ${\displaystyle \times _{s}}$ je tzv. polopřímý neboli semidirektní součin. Tj. morfizmus, mezi dvěma dlaždičkami je libovolný tuhý pohyb (složení translace s (event. nepřímou) rotací. Skládání morfizmů je definováno jako skládání zobrazení, pokud tyto skládat lze, tj. obor hodnot jednoho je definičním oborem druhého.

I když zobrazení z ${\displaystyle Mor(K)}$ působí na ${\displaystyle Ob(K)}$ tranzitivně, jednotlivé prvky z Ob(K) mají obecně různé stabilizátory, tj. „objekty“ ${\displaystyle Stab(x):=\{f\in Mor(K);f(x)=x\}}$ nejsou obecně izomorfní pro různá ${\displaystyle x\in D}$. (Poznamenejme, že není složité ověřit, že ${\displaystyle Stab(x)}$ jsou grupy, a tedy lze hovořit o izomorfnosti.) Tak např. stabilizátory dlaždiček „uvnitř“ stěny jsou různé od stabilizátorů těch v „rozích“ a různé od stabilizátorů těch na „hranách mimo rohy“. Je to tak proto, že vzniklý grupoid není grupa. Kdyby byl, byly by stabilizátory izomorfní.

Pokud uvažujeme složitější prostory, pocházející např. z teoretické fyziky nebo geometrie, než je prostor dlaždiček, můžeme právě porovnáváním různých stabilizátorů co do izomorfnosti matematicky zachytit fakt, že objekty, jako např. dlaždička v levém dolním a např. pravém dolním rohu jsou z hlediska symetrie stejné. Pojem grupy v tomto případě nepomůže přesně, neboť např. ne všechny translace lze skládat a přitom nevyjít z obloženého prostoru.

Elektronový obal atomu

Stručně řekněme, že tento grupoid je tvořen všemi přípustnými přechody elektronů v obalu atomu mezi jednotlivými „energetickými hladinami“. Jedná se zřejmě o grupoid, neboť přechody mezi hladinami jsou reverzibilní a navíc jejich skládání je asociativní. Tento grupoid souvisí s řešeními Schroedingerovy rovnice pro vlastní stavy hamiltoniánu atomu a příslušným poruchovým počtem.

Topologie

Nechť ${\displaystyle X}$ je topologický prostor, obecně ne nutně obloukově souvislý. Objekty grupoidu definujme jako body prostoru ${\displaystyle X}$. Morfizmy mezi dvěma objekty ${\displaystyle x,y\in X}$ definujme jako třídy ekvivalence spojitých oblouků spojujících bod ${\displaystyle x}$ s bodem ${\displaystyle y}$, přičemž řekneme, že dva oblouky jsou ekvivalentní, pokud jsou homotopické. Vzniklý objekt je grupoid, jak se snadno ověří, a navíc není grupou, pokud prostor ${\displaystyle X}$ není obloukově souvislý (oblouky ležící v různých komponentách obloukové souvislosti nelze skládat). Vzniklému grupoidu se říká homotopický grupoid. Pokud ${\displaystyle X}$ je obloukově souvislý, je homotopický grupoid izomorfní homotopické grupě.

Fíbrované bandly

Atlasy fíbrovaných bandlů, tj. množina dvojic otevřených okolí báze a na nich definovaných trivializujících map, tvoří také grupoid.

Poznámka

Pojem grupoid je často používán v současné algebraické geometrii, jejímž základním v současnosti „nejobecnějším“ objektem výzkumu (model „prostoru“ zkoumaný touto teorií) je tzv. zásobník (anglicky stack, francouzsky champs), což je kategorie fíbrovaná v kategorii grupoidů splňující jistou (technickou, ale podstatnou) podmínku lokality (tzv. podmínka efektivnosti sestupujících dat).

Grupoid je používán také v homotopické teorii, teorii konexí a v symplektické geometrii nebo v teorii deformačního kvantování.

Literatura

• A. Weinstein, Grupoids: unifying internal and external symmetry, arXiv:math/9602220.
• Waldschmidt, Moussa, Luck, Itzykson, From Number theory to Physics, Springer-Verlag, 1992.