Hölderova nerovnost

Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání L^p prostorů.

Znění

Na prostoru s mírou ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ mějme μ-měřitelné funkce ${\displaystyle f,g}$ na ${\displaystyle X}$. Dále nechť existují čísla ${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$, taková, že: ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$. Pak platí:

${\displaystyle \|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}}$.

Důležité speciální případy

Pro následující případy předpokládejme, že ${\displaystyle 1<p,q<\infty }$ a ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$.

Aritmetická míra

V případě ${\displaystyle n}$-rozměrného Eukleidovského prostoru ${\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {C} ^{n}}$, s množinou ${\displaystyle X=\{1,...,n\}}$ a ${\displaystyle \mu }$ aritmetickou mírou dostáváme:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)^{1/q}}$.

Rovnost nastává, právě když ${\displaystyle |b_{k}|=c|a_{k}|^{p-1}}$.

L^p prostory

Pokud ${\displaystyle f\in L^{p}(X),g\in L^{q}(X)}$, tak ${\displaystyle f\cdot g\in L^{1}(X)}$ a navíc:

${\displaystyle \int _{X}|f\cdot g|\,\mathrm {d} \mu \leq \left(\int _{X}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\cdot \left(\int _{X}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/q}}$

Pro ${\displaystyle p=q=2}$ pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.

Důkaz

Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla r, s a ${\displaystyle x\in <0,1>}$ platí ${\displaystyle xr+(1-x)s\geq r^{x}s^{1-x}}$. Rovnost nastává, právě když r=s nebo ${\displaystyle x\in \{0,1\}}$. Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.