Hamiltonovská formulace mechaniky

Hamiltonovská formulace mechaniky (někdy též hamiltonovská mechanika) představuje jiný přístup k popisu mechaniky než jaký využívají Newtonovy pohybové rovnice. Newtonovy pohybové rovnice sice umožňují úplně popsat mechanický pohyb, z matematického hlediska se však ukazuje, že lze zvolit jiný přístup k popisu tohoto pohybu, který bývá v mnoha případech výhodnější. Hamiltonovská formulace mechaniky je obecnější než lagrangeovská formulace, z níž původně vycházela.

Hamiltonovská formulace mechaniky je považována za součást teoretické mechaniky a objevil ji v roce 1833 William Rowan Hamilton. Hamiltonovská formulace mechaniky našla uplatnění nejen ve statistické fyzice, ale především při přechodu ke kvantové mechanice.

V této formulaci mechaniky se k popisu systému používají zobecněné souřadnice a zobecněné hybnosti, přičemž zobecněné souřadnice a jim odpovídající zobecněné hybnosti jsou považovány za rovnoprávné proměnné ve fázovém prostoru.

Hamiltonovská formulace umožňuje pomocí vhodných transformací přecházet mezi souřadnicemi a hybnostmi a různě je zaměňovat. Takové transformace se označují jako kanonické a je při nich požadováno, aby si Hamiltonovy rovnice zachovávaly svůj tvar. Invariantem kanonických transformací je tzv. Poissonova závorka.

Hamiltonovy rovnice

Diferenciací Hamiltonovy funkce dostaneme

${\displaystyle \mathrm {d} H=\sum _{i}\left({\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}\mathrm {d} p_{j}\right)+{\frac {\partial H}{\partial t}}\mathrm {d} t=}$

${\displaystyle =\sum _{i}\left({\dot {q}}_{i}\mathrm {d} p_{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}\right)-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t=\sum _{i}\left({\dot {q}}_{i}\mathrm {d} p_{i}-{\dot {p}}_{i}\mathrm {d} q_{i}\right)-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t}$,

kde ${\displaystyle L}$ je Lagrangeova funkce, ${\displaystyle q_{i}}$ jsou zobecněné souřadnice a ${\displaystyle p_{i}}$ jsou zobecněné hybnosti. Srovnáním jednotlivých koeficientů v tomto vztahu dostaneme výrazy

${\displaystyle {\left({\frac {\partial H}{\partial t}}\right)}_{p,q}=-{\left({\frac {\partial L}{\partial t}}\right)}_{q,{\dot {q}}}}$

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}}$

Tyto rovnice tvoří pro mechanický systém s ${\displaystyle n}$ stupni volnosti soustavu ${\displaystyle 2n}$ diferenciálních rovnic prvního řádu pro ${\displaystyle 2n}$ neznámých funkcí času ${\displaystyle q_{i}(t),p_{i}(t),i=1,2,...,n}$. Tyto rovnice jsou nižšího řádu než Lagrangeovy rovnice a jejich pravé strany nezávisí na derivacích hledaných funkcí. Tyto rovnice se nazývají Hamiltonovými (kanonickými) rovnicemi daného systému.

Příklad

Příkladem Hamiltonových rovnic jsou rovnice pro jednorozměrný pohyb volné částice (hmotného bodu).

Z lagrangiánu ${\displaystyle L={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}}$ vyplývá zobecněná hybnost ${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}={\frac {1}{2}}m\cdot 2{\dot {q}}=m{\dot {q}}=mv}$, odtud ${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {p}{m}}}$.

Dosazením do definice hamiltoniánu:

${\displaystyle H=p{\dot {q}}-L={\frac {p^{2}}{m}}-{\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}={\frac {p^{2}}{m}}-{\frac {1}{2}}m{\frac {p^{2}}{m^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m}}={\frac {p^{2}}{2m}}}$.

Dosazením do Hamiltonových kanonických rovnic:

${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}={\frac {p}{m}}}$ a

${\displaystyle {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=0}$.

To znamená, že rychlost částice (${\displaystyle v}$, neboli ${\displaystyle {\dot {q}}}$) zůstává konstantní (1. rovnice) a tedy částice se pohybuje rovnoměrně přímočaře.

Související články

• Teoretická mechanika
• Hamiltonova funkce
• Newtonova mechanika
• Lagrangeovská formulace mechaniky
• Hamiltonova–Jacobiho rovnice
• Akce (fyzika)

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Hamiltonovská formulace mechaniky na Wikimedia Commons