Hankelova matice

V lineární algebře se čtvercová matice nazývá Hankelova, pokud má konstantní hodnoty v rámci všech řad rovnoběžných s vedlejší diagonálou. (Matice s konstantními radami rovnoběžnými s hlavní diagonálou se nazývají Toeplitzovy.)

Matice je pojmenována po německém matematiku Hermannu Hankelovi (1839–1873).

Definice

Hankelova matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ řádu ${\displaystyle n}$ určená ${\displaystyle (2n-1)}$-ticí čísel ${\displaystyle c_{2},c_{3},\dots ,c_{2n}}$ je definována vztahem ${\displaystyle a_{ij}=c_{i+j}}$.

Obsah matice lze znázornit pomocí diagramu:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}c_{2}&c_{3}&c_{4}&\ldots &\ldots &c_{n+1}\\c_{3}&c_{4}&\ldots &\ldots &c_{n+1}&\vdots \\c_{4}&\vdots &&.&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &.&&\vdots &c_{2n-2}\\\vdots &c_{n+1}&\ldots &\ldots &c_{2n-2}&c_{2n-1}\\c_{n+1}&\ldots &\ldots &c_{2n-2}&c_{2n-1}&c_{2n}\end{pmatrix}}}$

Ukázka

Hankelova matice řádu 5 má podobu:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{pmatrix}},}$

Hankelova matice řádu 4 určená sedmicí 1,3,5,7,9,5,6:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&5&7\\3&5&7&9\\5&7&9&5\\7&9&5&6\\\end{pmatrix}}}$

Vlastnosti

• Pro indexy splňující ${\displaystyle i\leq j}$ platí, že ${\displaystyle a_{ij}=a_{i+k,j-k}}$ pro všechna ${\displaystyle k=1,...,j-i}$.

• Hankelova matice je vždy symetrická.
• Vektorový prostor Hankelových matic má dimenzi ${\displaystyle 2n-1}$.
• Do třídy Hankelových matic náleží Hilbertovy matice.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hankel-Matrix na německé Wikipedii.